4. 《九章算術(shù)》中有“盈不足術(shù)”的問題,原文如下：“今有共買羊,人出五,不足四十五；人出七,不足三,問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”題意是：若干人共同出資買羊,每人出 5 元,則差 45 元；每人出 7 元,則差 3 元,求人數(shù)和羊價(jià)各是多少.
答案：人數(shù)為21人，羊價(jià)為150元
解析：
設(shè)人數(shù)為$x$人，羊價(jià)為$y$元。
根據(jù)題意可得方程組：
$\begin{cases}y = 5x + 45 \\y = 7x + 3\end{cases}$
將第一個(gè)方程代入第二個(gè)方程：
$5x + 45 = 7x + 3$
移項(xiàng)可得：
$45 - 3 = 7x - 5x$
$42 = 2x$
$x = 21$
將$x = 21$代入$y = 5x + 45$：
$y = 5×21 + 45 = 105 + 45 = 150$
人數(shù)為21人，羊價(jià)為150元。
問題 輪船從甲地順流開往乙地,所用時(shí)間比乙地逆流回到甲地少 1.5 小時(shí),已知輪船在靜水中速度為每小時(shí) 20 千米,水流速度為每小時(shí) 2 千米,求甲、乙兩地間的距離.
名師指導(dǎo)
輪船順流航行速度 $ = $ 輪船靜水航行速度 $ + $ 水流速度；輪船逆流航行速度 $ = $ 輪船靜水航行速度 $ - $ 水流速度,而順流和逆流航行都滿足相應(yīng)的等量關(guān)系式,即路程 $ = $ 速度 $ × $ 時(shí)間. 可設(shè)甲、乙兩地間的距離為 $ x $ 千米,根據(jù)順、逆流時(shí)間差是 1.5 小時(shí),建立方程.
解題示范(學(xué)生在教師指導(dǎo)下,獨(dú)立完成)
解：
答案：設(shè)甲、乙兩地間的距離為 $x$ 千米。
順流速度：
輪船在靜水中的速度為 $20$ 千米/小時(shí)，水流速度為 $2$ 千米/小時(shí)，所以順流速度為 $20 + 2 = 22(km/h)$。
順流時(shí)間：
$t_1 = \frac{x}{22}$，
逆流速度：
輪船逆流時(shí)的速度為 $20 - 2 = 18(km/h)$。
逆流時(shí)間：
$t_2 = \frac{x}{18}$，
根據(jù)題意，順流時(shí)間比逆流時(shí)間少 $1.5$ 小時(shí)，即：
$t_2 - t_1 = 1.5$，
代入 $t_1$ 和 $t_2$ 的表達(dá)式，得：
$\frac{x}{18} - \frac{x}{22} = 1.5$，
解這個(gè)方程，首先找公共分母，即 $18 × 22 = 396$，然后合并同類項(xiàng)：
$\frac{22x - 18x}{396} = 1.5$，
$\frac{4x}{396} = 1.5$，
$4x = 594$，
$x = 148.5 × 1（除以1，因?yàn)?x=594直接算出x）$（實(shí)際應(yīng)為$x=\frac{594}{4}=148.5$，此處為簡(jiǎn)化表達(dá)）
$x = 148.5(km)$（經(jīng)過檢驗(yàn)，答案正確）。
所以甲、乙兩地間的距離為$148.5$ 千米。
1. 整理一批文件,由 1 個(gè)人做要 52 h 完成,現(xiàn)在計(jì)劃由一部分人先做 4 h,再增加 2 人和他們一起做 8 h 完成這項(xiàng)工作,假設(shè)這些人的工作效率相同,具體應(yīng)先安排多少人工作？
答案：3人
解析：
解：設(shè)具體應(yīng)先安排$x$人工作。
每人每小時(shí)的工作效率為$\frac{1}{52}$。
根據(jù)題意，得：
$4x×\frac{1}{52}+8(x + 2)×\frac{1}{52}=1$
方程兩邊同乘52，得：
$4x + 8(x + 2)=52$
$4x + 8x + 16=52$
$12x=36$
$x=3$
答：具體應(yīng)先安排3人工作。
2. 用白鐵皮做罐頭盒,每張鐵皮可制盒身 15 個(gè),或盒底 40 個(gè),一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒. 現(xiàn)有 280 張白鐵皮,用多少?gòu)堉坪猩?多少?gòu)堉坪械?可以正好制成整套罐頭盒？
答案：用160張制盒身，120張制盒底
解析：
設(shè)用$x$張制盒身，則用$(280 - x)$張制盒底。
由題意，每張鐵皮可制盒身$15$個(gè)，或盒底$40$個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒，得：
$2 × 15x = 40(280 - x)$
$30x = 11200 - 40x$
$70x = 11200$
$x = 160$
$280 - 160 = 120$
答：用$160$張制盒身，$120$張制盒底。
