如圖,點(diǎn) $A$,$B$,$C$ 是數(shù)軸上三點(diǎn),點(diǎn) $C$ 表示的數(shù)為 $6$,$BC = 4$,$AB = 12$.
(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn) $A$,$B$ 表示的數(shù)；
(2)動(dòng)點(diǎn) $P$,$Q$ 同時(shí)從 $A$,$C$ 出發(fā),點(diǎn) $P$ 以每秒 $4$ 個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn) $Q$ 以每秒 $2$ 個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 $t(t ＞ 0)$ 秒.
① 求數(shù)軸上點(diǎn) $P$,$Q$ 表示的數(shù)(用含 $t$ 的式子表示)；
② 當(dāng) $t$ 為何值時(shí),點(diǎn) $P$,$Q$ 相距 $6$ 個(gè)單位長度.
答案：
(1) 點(diǎn)A表示的數(shù)是-10，點(diǎn)B表示的數(shù)是2.
(2) ① 點(diǎn)P表示的數(shù)是-10+4t，點(diǎn)Q表示的數(shù)是6-2t；② 當(dāng)$t=\frac{5}{3}$或$t=\frac{11}{3}$時(shí)，點(diǎn)P，Q相距6個(gè)單位長度.
1. 在方程 $\frac{x - 1}{2} = \frac{x + 2}{3}$ 的兩邊同時(shí)乘
6
,可將原方程轉(zhuǎn)化為不含分母的方程.
答案：6.
2. 將方程 $\frac{x - 1}{2} - \frac{2x - 5}{3} = 1$ 去分母得
3(x-1)-2(2x-5)=6.
答案：3(x-1)-2(2x-5)=6.
3. 解方程 $\frac{2x + 1}{3} - \frac{10x - 1}{6} = 1$,去分母正確的是(
D
)
A.$2x + 1 - 10x - 1 = 1$
B.$4x + 2 - 10x - 1 = 6$
C.$4x + 2 - 10x + 1 = 1$
D.$4x + 2 - 10x + 1 = 6$
答案：D.
解析：
方程兩邊同乘6，得$2(2x + 1) - (10x - 1) = 6$，去括號(hào)得$4x + 2 - 10x + 1 = 6$。D
4. 若代數(shù)式 $x - \frac{1 + x}{3}$ 的值是 $2$,則 $x$ 的值是(
D
)
A.$0.75$
B.$1.75$
C.$1.5$
D.$3.5$
答案：D.
解析：
根據(jù)題意，得$x - \frac{1 + x}{3} = 2$
兩邊同乘$3$，得$3x - (1 + x) = 6$
去括號(hào)，得$3x - 1 - x = 6$
合并同類項(xiàng)，得$2x - 1 = 6$
移項(xiàng)，得$2x = 7$
兩邊同除以$2$，得$x = \frac{7}{2} = 3.5$
D
5. 若 $\frac{1}{3}(2x - 1)$ 與 $\frac{6}{5}x + 3$ 互為相反數(shù),則 $x$ 的值為(
B
)
A.$-\frac{50}{8}$
B.$-\frac{10}{7}$
C.$\frac{1}{14}$
D.$-1$
答案：B.
解析：
解：因?yàn)?\frac{1}{3}(2x - 1)$與$\frac{6}{5}x + 3$互為相反數(shù)，所以$\frac{1}{3}(2x - 1) + \left(\frac{6}{5}x + 3\right) = 0$。
去分母，兩邊同乘15得：$5(2x - 1) + 18x + 45 = 0$。
去括號(hào)得：$10x - 5 + 18x + 45 = 0$。
合并同類項(xiàng)得：$28x + 40 = 0$。
移項(xiàng)得：$28x = -40$。
解得：$x = -\frac{40}{28} = -\frac{10}{7}$。
B.
問題 一艘輪船航行在甲、乙兩個(gè)碼頭之間,已知水流速度是 $3\ km/h$,輪船順?biāo)叫行?$5\ h$,逆水航行需 $7\ h$,求甲、乙兩個(gè)碼頭之間的距離.
名師指導(dǎo)
在該題中,設(shè)兩地之間的距離為 $x\ km$,則順?biāo)俣葹?$\frac{x}{5}\ km/h$,逆水速度為 $\frac{x}{7}\ km/h$,靜水速度可表示為 $(\frac{x}{5} - 3)\ km/h$ 或 $(\frac{x}{7} + 3)\ km/h$,從而列出方程.
解題示范 (學(xué)生在教師指導(dǎo)下,獨(dú)立完成)
解：
答案：解：設(shè)甲、乙兩個(gè)碼頭之間的距離為 $x$ km。
根據(jù)題意，順?biāo)畷r(shí)的速度為 $\frac{x}{5}$ km/h，逆水時(shí)的速度為 $\frac{x}{7}$ km/h。
考慮到水流速度為 $3$ km/h，靜水速度可以表示為順?biāo)俣葴p去水流速度，即 $\left(\frac{x}{5} - 3\right)$ km/h，
或者逆水速度加上水流速度，即$\left(\frac{x}{7} + 3\right)$ km/h。
由于靜水速度是恒定的，可以得到方程：
$\frac{x}{5} - 3 = \frac{x}{7} + 3$，
移項(xiàng)得：
$\frac{x}{5} - \frac{x}{7} = 6$，
通分，得：
$\frac{7x - 5x}{35} = 6$，
即：
$\frac{2x}{35} = 6$，
系數(shù)化為$1$得：
$x = 105$。
所以甲、乙兩個(gè)碼頭之間的距離為 $105$ km。
