23. (12 分)我們把按一定規(guī)律排列的一列數(shù),稱為數(shù)列,若一個(gè)數(shù)列中依次排列的相鄰的三個(gè)數(shù) $ m $,$ n $,$ p $,總滿足 $ p = m^{2} - n $,則稱這個(gè)數(shù)列為“理想數(shù)列”.
(1)若數(shù)列 $ 2 $,$ -1 $,$ a $,$ -4 $,$ b $,…,是“理想數(shù)列”,則 $ a = $
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,$ b = $
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；
(2)若數(shù)列 $ x $,$ 3x $,$ 4 $,…,是“理想數(shù)列”,求代數(shù)式 $ \frac{2}{3} x^{2} - 2x + 3 $ 的值；
(3)若數(shù)列 $ \dots $,$ m $,$ n $,$ p $,$ q $,$ \dots $,是“理想數(shù)列”,且 $ p - \frac{1}{2} q = 2 $,求代數(shù)式 $ n(n^{2} - 3m^{2} + 4) + 9(m^{2} - n) + 2026 $ 的值；
(2) ∵數(shù)列$x$，$3x$，$4$，…是“理想數(shù)列”，
∴根據(jù)“理想數(shù)列”的定義可得：$4=x^{2}-3x$，
即$x^{2}-3x-4=0$，
對(duì)于方程$x^{2}-3x-4=0$，
分解因式得$(x-4)(x+1)=0$，
則$x-4=0$或$x+1=0$，
解得$x=4$或$x=-1$。
當(dāng)$x=4$時(shí)，
$\frac{2}{3}x^{2}-2x + 3=\frac{2}{3}×4^{2}-2×4 + 3=\frac{2}{3}×16 - 8 + 3=\frac{32}{3}-\frac{24}{3}+\frac{9}{3}=\frac{17}{3}$；
當(dāng)$x=-1$時(shí)，
$\frac{2}{3}x^{2}-2x + 3=\frac{2}{3}×(-1)^{2}-2×(-1)+3=\frac{2}{3}+2 + 3=\frac{2}{3}+\frac{6}{3}+\frac{9}{3}=\frac{17}{3}$。
綜上，代數(shù)式$\frac{2}{3}x^{2}-2x + 3$的值為$\frac{17}{3}$。
(3) ∵……，$m$，$n$，$p$，$q$，……是理想數(shù)列，
∴$q = n^{2}-p$。
∵$p = m^{2}-n$，
∴$q = n^{2}-(m^{2}-n)=n^{2}-m^{2}+n$。
∵$p-\frac{1}{2}q = 2$，
∴$(m^{2}-n)-\frac{1}{2}(n^{2}-m^{2}+n)=2$，
∴$2m^{2}-2n - n^{2}+m^{2}-n = 4$，
∴$3m^{2}-n^{2}-3n = 4$，即$n^{2}-3m^{2}+4=-3n$或$n^{2}-3m^{2}+3n=-4$，
∴$n(n^{2}-3m^{2}+4)+9(m^{2}-n)+2026=n(-3n)+9(m^{2}-n)+2026=-3n^{2}+9m^{2}-9n + 2026=-3(n^{2}-3m^{2}+3n)+2026=-3×(-4)+2026=12 + 2026=2038$
