3. 下列計算正確的是(
D
)
A.$-(-3)= -3$
B.$|-3|= -3$
C.$(-3)^2= 6$
D.$-3^2= -9$
答案：D
解析：
A.$-(-3)=3$
B.$|-3|=3$
C.$(-3)^2=9$
D.$-3^2=-9$
D
4. 設(shè)$n$是自然數(shù),則$\frac{(-1)^n+(-1)^{n+2}}{2}$的值為(
A
)
A.1或$-1$
B.0
C.$-1$
D.0或1
答案：A
解析：
當(dāng)$n$為偶數(shù)時，設(shè)$n = 2k$（$k$為自然數(shù)），則$(-1)^n = 1$，$(-1)^{n+2}=(-1)^{2k+2}=1$，原式$=\frac{1 + 1}{2}=1$；
當(dāng)$n$為奇數(shù)時，設(shè)$n = 2k + 1$（$k$為自然數(shù)），則$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+2}=(-1)^{2k+3}=-1$，原式$=\frac{-1 + (-1)}{2}=-1$。
綜上，值為$1$或$-1$。
A
5. 算式$2^2+2^2+2^2+2^2$可化為(
A
)
A.$2^4$
B.$8^2$
C.$2^8$
D.$2^{16}$
答案：A
解析：
$2^2+2^2+2^2+2^2=4×2^2=2^2×2^2=2^{2+2}=2^4$，答案選A。
6. 計算：
(1) $(-\frac{4}{5})^2×(-1\frac{1}{4})$；
(2) $-(-2)^2-3÷(-1)^3×(-2)^4$。
答案：（1）$-\frac{4}{5}$；（2）44.
解析：
(1) $(-\frac{4}{5})^2×(-1\frac{1}{4})$
$=\frac{16}{25}×(-\frac{5}{4})$
$=-\frac{4}{5}$
(2) $-(-2)^2-3÷(-1)^3×(-2)^4$
$=-4 - 3÷(-1)×16$
$=-4 + 3×16$
$=-4 + 48$
$=44$
7. 觀察下列各式：
$1= 2^1-1$,
$1+2= 2^2-1$,
$1+2+2^2= 2^3-1$。
猜想：(1)$1+2+2^2+2^3+…+2^{63}= $
$2^{64}-1$
；
(2) 若$n$是正整數(shù),那么$1+2+2^2+2^3+…+2^n= $
$2^{n+1}-1$
。
答案：（1）$2^{64}-1$；（2）$2^{n+1}-1$.
8. 已知下列等式：①$2^2-1^2= 3$；②$3^2-2^2= 5$；③$4^2-3^2= 7…$
(1) 請仔細觀察前三個等式的規(guī)律,寫出第⑥個等式：
$7^{2}-6^{2}=13$
；
(2) 請你找出規(guī)律,寫出第$n$個等式,并說明等式成立；
第n個式子為$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$；
∵左邊=$n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1$=右邊，
∴$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$
(3) 利用(2)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：$1+3+5+7+…+99$。
由（2）的規(guī)律可知，$1+3+5+7+\cdots +99=1+(2^{2}-1^{2})+(3^{2}-2^{2})+(4^{2}-3^{2})+\cdots +(50^{2}-49^{2})=50^{2}=2500$
答案：（1）$7^{2}-6^{2}=13$；（2）第n個式子為$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$；
∵左邊=$n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1$=右邊，
∴$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$；（3）由（2）的規(guī)律可知，$1+3+5+7+\cdots +99=1+(2^{2}-1^{2})+(3^{2}-2^{2})+(4^{2}-3^{2})+\cdots +(50^{2}-49^{2})=50^{2}=2500$.
9. 已知$|x-5|+|y+6|= 0$,求$(x+y)^{2025}$的值。
答案：$x=5,y=-6,(x+y)^{2025}=-1$.
解析：
因為$|x - 5| \geq 0$，$|y + 6| \geq 0$，且$|x - 5| + |y + 6| = 0$，所以$x - 5 = 0$，$y + 6 = 0$，解得$x = 5$，$y = - 6$。則$x + y = 5 + (-6) = -1$，所以$(x + y)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
定義一種對正整數(shù)$n$的“$F$”運算：①當(dāng)$n$為奇數(shù)時,結(jié)果為$3n+5$；②當(dāng)$n$為偶數(shù)時,結(jié)果為$\frac{n}{2^k}$(其中$k是使\frac{n}{2^k}$為奇數(shù)的正整數(shù))。運算重復(fù)進行。例如,取$n= 26$,則
$\boxed{26}\xrightarrow[第一次]{F②}\boxed{13}\xrightarrow[第二次]{F①}\boxed{44}\xrightarrow[第三次]{F②}\boxed{11}…$
若$n= 449$,則第$449$次“$F$”運算的結(jié)果是
8
。
答案：8
解析：
1. 第1次運算：449是奇數(shù)，$F①$：$3×449 + 5 = 1352$；
2. 第2次運算：1352是偶數(shù)，$F②$：$1352÷2^3 = 169$（$1352=2^3×169$）；
3. 第3次運算：169是奇數(shù)，$F①$：$3×169 + 5 = 512$；
4. 第4次運算：512是偶數(shù)，$F②$：$512÷2^9 = 1$（$512=2^9$）；
5. 第5次運算：1是奇數(shù)，$F①$：$3×1 + 5 = 8$；
6. 第6次運算：8是偶數(shù)，$F②$：$8÷2^3 = 1$；
7. 第7次運算：1→8（同第5次）；
8. 第8次運算：8→1（同第6次）；
從第4次起，結(jié)果以“1，8”循環(huán)，周期為2。第4次對應(yīng)循環(huán)第1項（1），第5次循環(huán)第2項（8），...，循環(huán)項數(shù)$m = 運算次數(shù) - 3$。
第449次：$m = 449 - 3 = 446$，$446$為偶數(shù)，對應(yīng)循環(huán)第2項（8）。
