如圖,$A$,$O$,$B$三點在同一條直線上,$\angle BOD與\angle BOC$互補。
(1)若$\angle AOC = 30^{\circ}$,求$\angle BOD$的度數(shù)；
(2)已知$OM平分\angle AOC$,若射線$ON在\angle COD$的內(nèi)部,且滿足$\angle AOC與\angle MON$互余,試探究$\angle MON與\angle DON$之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請寫出結(jié)論并說明理由。
答案：（1）∠BOD = 30°. （2）∠MON與∠DON之間的數(shù)量關(guān)系為2∠DON - ∠MON = 90°，理由略.
解析：
(1)
∵A，O，B三點共線，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°-30°=150°，
∵∠BOD與∠BOC互補，
∴∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=180°-150°=30°.
(2)
設(shè)∠AOC=2α，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠MOC=α，
∵∠AOC與∠MON互余，
∴∠MON=90°-∠AOC=90°-2α，
∵∠AOC+∠BOC=180°，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=∠AOC=2α，
∵∠COD=∠AOB-∠AOC-∠BOD=180°-2α-2α=180°-4α，
∵ON在∠COD內(nèi)部，
∴∠CON=∠COD-∠DON=180°-4α-∠DON，
∵∠MON=∠MOC+∠CON，
∴90°-2α=α+(180°-4α-∠DON)，
整理得∠DON=90°-α，
∴α=90°-∠DON，
∵∠MON=90°-2α=90°-2(90°-∠DON)=2∠DON-90°，
∴2∠DON-∠MON=90°.
1. 如圖,在圖中確定$A$,$B$,$C$,$D$的位置：
(1)$A在O$的正北方向,距$O點2cm$；
(2)$B在O的北偏東60^{\circ}$方向,距$O點3cm$；
(3)$C在O$的東南方向,距$O點1.5cm$；
(4)$D在O的南偏西40^{\circ}$方向,距$O點2cm$。
答案：1. 以點$O$為中心：
(1)在點$O$正上方（正北方向）取$2cm$長度，確定點$A$；
(2)從點$O$沿北偏東$60^{\circ}$方向取$3cm$長度，確定點$B$；
(3)從點$O$沿東南方向（即南偏東$45^{\circ}$）取$1.5cm$長度，確定點$C$；
(4)從點$O$沿南偏西$40^{\circ}$方向取$2cm$長度，確定點$D$。
（通常在答題時根據(jù)上述描述在給定圖中準(zhǔn)確畫出各點位置即可，由于這里是文字表述，實際答題需按要求在圖上標(biāo)注）。
2. 如圖,說出圖中各射線表示的方向。
射線$OA$：
北偏東45°（或東北方向）
；射線$OB$：
北偏西70°
；射線$OC$：
南偏西30°
。
答案：北偏東45°（或東北方向）；北偏西70°；南偏西30°
3. 南偏東$30^{\circ}和北偏西70^{\circ}$這兩條射線的夾角等于
140
$^{\circ}$。
答案：140
解析：
南偏東$30^{\circ}$與正南方向夾角為$30^{\circ}$，北偏西$70^{\circ}$與正北方向夾角為$70^{\circ}$。正南與正北方向夾角為$180^{\circ}$，所以兩條射線夾角為$180^{\circ}-30^{\circ}-70^{\circ}=80^{\circ}$？不對，應(yīng)該是另一個方向的夾角。北偏西$70^{\circ}$即西偏北$20^{\circ}$，南偏東$30^{\circ}$即東偏南$60^{\circ}$，東西方向夾角$180^{\circ}$，南北方向夾角$180^{\circ}$，所以夾角為$70^{\circ}+30^{\circ}+(90^{\circ}-70^{\circ})+(90^{\circ}-30^{\circ})$？不對，正確做法是：南偏東$30^{\circ}$的射線與正東方向夾角$60^{\circ}$，北偏西$70^{\circ}$的射線與正西方向夾角$20^{\circ}$，正東與正西夾角$180^{\circ}$，所以總夾角為$60^{\circ}+180^{\circ}-20^{\circ}=220^{\circ}$，但夾角取小于$180^{\circ}$的，所以$360^{\circ}-220^{\circ}=140^{\circ}$。
$140$
問題 如圖,上午$8$時,小島$O上的士兵發(fā)現(xiàn)海面上A$處有一艘貨船正在向正西方向航行,上午$10$時,士兵發(fā)現(xiàn)該貨船在小島南偏西$60^{\circ}$的方向上。請你說出上午$8時貨船的位置A在小島O$的什么方向上,并在圖中作出上午$10時貨船的位置B$。
名師指導(dǎo)
射線$OA可以看作是表示正南方向的射線繞O點向東旋轉(zhuǎn)30^{\circ}$得到的,所以$A在O的南偏東30^{\circ}$的方向上。射線$OB可以由表示正南方向的射線繞O$點向西旋轉(zhuǎn)
$60^{\circ}$得到,$B點是射線OB與以A$為端點表示正西方向的射線的交點。
解題示范(學(xué)生在教師指導(dǎo)下,獨立完成)
解：
答案：解：
1. 上午8時貨船的位置$A$在小島$O$的南偏東$30^{\circ}$方向上。
2. 畫圖：過點$A$作正西方向射線，以$O$為頂點，作南偏西$60^{\circ}$的射線，與過$A$點的正西方向射線相交于點$B$，點$B$即為上午10時貨船的位置。
