【新知理解】
如圖①,點(diǎn) $ C $ 在線段 $ AB $ 上,圖中共有三條線段 $ AB $,$ AC $ 和 $ BC $. 若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的 $ 2 $ 倍,則稱點(diǎn) $ C $ 是線段 $ AB $ 的“巧點(diǎn)”.
(1) 線段的中點(diǎn)
是
這條線段的“巧點(diǎn)”.(填“是”或“不是”)
(2) 若 $ AB = 12\ cm $,點(diǎn) $ C $ 是線段 $ AB $ 的“巧點(diǎn)”,則 $ AC = $
4或6或8
$ cm $.
【解決問題】
(3) 如圖②,$ AB = 12\ cm $,動(dòng)點(diǎn) $ P $ 從點(diǎn) $ A $ 出發(fā),以 $ 2\ cm/s $ 的速度沿 $ AB $ 向點(diǎn) $ B $ 勻速移動(dòng)；點(diǎn) $ Q $ 從點(diǎn) $ B $ 出發(fā),以 $ 1\ cm/s $ 的速度沿 $ BA $ 向點(diǎn) $ A $ 勻速移動(dòng). 點(diǎn) $ P $,$ Q $ 同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)停止,設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為 $ t(s) $. 當(dāng) $ t $ 為何值時(shí),$ A $,$ P $,$ Q $ 三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“巧點(diǎn)”？請(qǐng)說明理由.
解:t秒后,$AP=2t$,$AQ=12-t(0\leqslant t\leqslant 6)$. ① 由題意可知A不可能為P,Q兩點(diǎn)的“巧點(diǎn)”,此情況排除. ② 當(dāng)P為A,Q的“巧點(diǎn)”時(shí),Ⅰ.$AP=\frac{1}{3}AQ$,即$2t=\frac{1}{3}(12-t)$,解得$t=\frac{12}{7}s$;Ⅱ.$AP=\frac{1}{2}AQ$,即$2t=\frac{1}{2}(12-t)$,解得$t=\frac{12}{5}s$；Ⅲ.$AP=\frac{2}{3}AQ$,即$2t=\frac{2}{3}(12-t)$,解得t=3s. ③ 當(dāng)Q為A,P的“巧點(diǎn)”時(shí),Ⅰ.$AQ=\frac{1}{3}AP$,即$(12-t)=2t×\frac{1}{3}$,解得$t=\frac{36}{5}s$(舍去);Ⅱ.$AQ=\frac{1}{2}AP$,即$(12-t)=2t×\frac{1}{2}$,解得t=6s;Ⅲ.$AQ=\frac{2}{3}AP$,即$(12-t)=2t×\frac{2}{3}$,解得$t=\frac{36}{7}s$.綜上,當(dāng)$t=\frac{12}{7}s$或$t=\frac{12}{5}s$或t=3s時(shí),P為A,Q的“巧點(diǎn)”;當(dāng)t=6s或$t=\frac{36}{7}s$時(shí),Q為A,P的“巧點(diǎn)”.
