例1 在含鹽率為10%的200克鹽水中,加入多少克鹽后,鹽水的含鹽率就變?yōu)?0%？
分析：在解題時(shí)可以抓住“水”的質(zhì)量這個(gè)不變量進(jìn)行思考。先求出200克鹽水中有多少克水,再求出當(dāng)含鹽率為20%時(shí)一共有多少克鹽水,最后求出加入的鹽的質(zhì)量。
解答：200克含鹽率為10%的鹽水中水的質(zhì)量：
200×(1 - 10%) = 180(克)
加入鹽后鹽水的質(zhì)量：
180÷(1 - 20%) = 225(克)
加入的鹽的質(zhì)量：225 - 200 = 25(克)
答：加入25克鹽后,鹽水的含鹽率就變?yōu)?0%。
答案：解析：本題考查的是含鹽率的問題，可以通過抓住“水”的質(zhì)量這個(gè)不變量來進(jìn)行求解。
首先，需要求出200克鹽水中水的質(zhì)量。由于含鹽率為10%，所以水的質(zhì)量為：
$200 × (1 - 10\%) = 180 \text{(克)}$，
接下來，需要求出當(dāng)含鹽率為20%時(shí)，鹽水的總質(zhì)量。由于水的質(zhì)量不變，可以通過水的質(zhì)量來推算出鹽水的總質(zhì)量：
$180 ÷ (1 - 20\%) = 225 \text{(克)}$，
最后，通過比較加入鹽前后的鹽水質(zhì)量，可以求出加入的鹽的質(zhì)量：
$225 - 200 = 25 \text{(克)}$，
答案：加入25克鹽后，鹽水的含鹽率就變?yōu)?0%。
一批零件,不合格產(chǎn)品是合格產(chǎn)品的$\frac{1}{19}。$后來又在合格產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)2個(gè)不合格產(chǎn)品,這時(shí)產(chǎn)品的合格率是94%,這批零件共有(
200
)個(gè)。
答案：200 提示:這批零件的總個(gè)數(shù)為不變量,原來合格的零件個(gè)數(shù)占零件總個(gè)數(shù)的$\frac{19}{1+19}$,又在合格零件中發(fā)現(xiàn)2個(gè)不合格零件后,現(xiàn)在合格的零件個(gè)數(shù)占零件總個(gè)數(shù)的94%,所以這2個(gè)不合格零件占零件總個(gè)數(shù)的$(\frac{19}{1+19}-94\%)$,由此可求出這批零件的總個(gè)數(shù)為$2÷(\frac{19}{1+19}-94\%)=200$(個(gè))。
解析：
原來合格產(chǎn)品占總個(gè)數(shù)的比例為$\frac{19}{1 + 19} = \frac{19}{20}$。
后來合格產(chǎn)品占總個(gè)數(shù)的比例為$94\% = 0.94$。
這$2$個(gè)不合格產(chǎn)品占總個(gè)數(shù)的比例為$\frac{19}{20} - 0.94 = 0.95 - 0.94 = 0.01$。
這批零件總個(gè)數(shù)為$2÷0.01 = 200$（個(gè)）。
200
2. 朝陽小學(xué)六年級(jí)上學(xué)期男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的54%,本學(xué)期初轉(zhuǎn)進(jìn)6名女生,轉(zhuǎn)走6名男生,這時(shí)女生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的48%。現(xiàn)在有男生(
156
)人。
答案：156 提示:根據(jù)“本學(xué)期初轉(zhuǎn)進(jìn)6名女生,轉(zhuǎn)走6名男生”可知,六年級(jí)的總?cè)藬?shù)沒有發(fā)生變化,原來女生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的(1-54%),現(xiàn)在女生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的48%,則轉(zhuǎn)進(jìn)的6名女生占總?cè)藬?shù)的[48%-(1-54%)],由此可求出六年級(jí)的總?cè)藬?shù),然后再求出六年級(jí)原來男生的人數(shù),最后再求現(xiàn)在男生的人數(shù),列綜合算式為$6÷[48\%-(1-54\%)]×54\%-6=156$(人)。
解析：
總?cè)藬?shù)：$6÷[48\%-(1 - 54\%)]=300$（人）
原來男生人數(shù)：$300×54\% = 162$（人）
現(xiàn)在男生人數(shù)：$162 - 6=156$（人）
156
3. 紫金小學(xué)派出一些學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽,其中女生人數(shù)比男生多18%,后來有10名女生退出,這樣男生人數(shù)比女生少$\frac{2}{27}。$參賽的男生人數(shù)為(
100
)。
答案：100 提示:題中參賽女生的人數(shù)發(fā)生了變化,沒有發(fā)生變化的是參賽男生的人數(shù)。不妨將“男生人數(shù)比女生少$\frac{2}{27}$”轉(zhuǎn)化為女生人數(shù)比男生多幾分之幾,將后來的女生人數(shù)看作“1”,男生人數(shù)就是$(1-\frac{2}{27})$,女生人數(shù)比男生多$\frac{2}{27}÷(1-\frac{2}{27})=\frac{2}{25}$。參賽女生減少的有10人,這10人是男生人數(shù)的$(18\%-\frac{2}{25})$,所以參賽的男生有$10÷(18\%-\frac{2}{25})=100$(人)。
解析：
設(shè)參賽男生人數(shù)為單位“1”。
最初女生人數(shù)比男生多18%，則最初女生人數(shù)為$1 + 18\% = 1.18$。
后來男生人數(shù)比女生少$\frac{2}{27}$，將后來女生人數(shù)看作“1”，則男生人數(shù)為$1 - \frac{2}{27} = \frac{25}{27}$，所以后來女生人數(shù)為男生人數(shù)的$1÷\frac{25}{27} = \frac{27}{25} = 1.08$。
女生人數(shù)減少了$1.18 - 1.08 = 0.1$，這對(duì)應(yīng)10名女生，所以男生人數(shù)為$10÷0.1 = 100$。
100
4. 超市開展促銷活動(dòng),原來甲、乙兩種商品的價(jià)格之比是5:2,如果把它們的價(jià)格都降價(jià)30元,那么現(xiàn)在甲、乙的價(jià)格之比是3:1,甲、乙兩種商品原來的價(jià)格分別是(
300
)元和(
120
)元。
答案：300 120 提示:甲、乙兩種商品都降價(jià)30元出售,則它們的價(jià)格差不變。原來甲商品的價(jià)格占兩種商品價(jià)格差的$\frac{5}{5-2}$,現(xiàn)在甲商品的價(jià)格占兩種商品價(jià)格差的$\frac{3}{3-1}$,則降價(jià)的30元錢占兩種商品價(jià)格差的$(\frac{5}{5-2}-\frac{3}{3-1})$,由此可求出兩種商品的價(jià)格差。原來甲商品的價(jià)格占兩種商品價(jià)格差的$\frac{5}{5-2}$,原來乙商品的價(jià)格占兩種商品價(jià)格差的$\frac{2}{5-2}$,由兩種商品的價(jià)格差,可分別求出原來甲、乙兩種商品的價(jià)格。$30÷(\frac{5}{5-2}-\frac{3}{3-1})=180$(元),甲商品:$180×\frac{5}{5-2}=300$(元),乙商品:$180×\frac{2}{5-2}=120$(元)。
解析：
兩種商品的價(jià)格差：$30÷(\frac{5}{5-2}-\frac{3}{3-1})=30÷(\frac{5}{3}-\frac{3}{2})=30÷\frac{1}{6}=180$（元）
甲商品原來的價(jià)格：$180×\frac{5}{5-2}=180×\frac{5}{3}=300$（元）
乙商品原來的價(jià)格：$180×\frac{2}{5-2}=180×\frac{2}{3}=120$（元）
300 120
例2 一套服裝,如果定價(jià)240元,將獲利60%,如果打八折出售,將獲利(
42
)元。
分析：要求獲利多少元,就是用打折后的價(jià)格減去這套服裝的進(jìn)價(jià)。獲利60%是把進(jìn)價(jià)看作單位“1”,定價(jià)240元就是進(jìn)價(jià)的(1 + 60%),那么進(jìn)價(jià)就是240÷(1 + 60%) = 150(元)。如果打八折出售,那么售價(jià)就是定價(jià)的80%,240×80% = 192(元),這樣可求出獲利192 - 150 = 42(元)。
解答：42
答案：分析：本題主要考查百分比和折扣的計(jì)算。
首先，我們需要根據(jù)給定的定價(jià)和獲利百分比，反推出服裝的進(jìn)價(jià)。接著，我們要計(jì)算打八折后的售價(jià)。最后，我們用打折后的售價(jià)減去進(jìn)價(jià)，即可求出獲利金額。
1. 根據(jù)定價(jià)和獲利百分比求進(jìn)價(jià)：
定價(jià)是進(jìn)價(jià)的(1 + 獲利百分比)，所以進(jìn)價(jià) = 定價(jià)${÷}$(1 + 獲利百分比)。
將定價(jià)240元和獲利60%代入公式，得到進(jìn)價(jià) = $240{÷}(1 + 60\%) = 150$元。
2. 計(jì)算打八折后的售價(jià)：
打八折意味著售價(jià)是定價(jià)的80%，所以打折后的售價(jià) = 定價(jià)$× 80\%$。
將定價(jià)240元代入公式，得到打折后的售價(jià) = $240× 80\% = 192$元。
3. 計(jì)算獲利金額：
獲利金額 = 打折后的售價(jià) - 進(jìn)價(jià)。
將打折后的售價(jià)192元和進(jìn)價(jià)150元代入公式，得到獲利金額 = $192 - 150 = 42$元。
答案：42元。
5. 一家店鋪所有的衣服都是按進(jìn)價(jià)的50%加價(jià)后再標(biāo)價(jià),雙十一期間做活動(dòng),所有商品按標(biāo)價(jià)打八折,王阿姨購買一件衣服后,店家賺了10元。這件衣服的售價(jià)是(
60
)元。
答案：60 提示:設(shè)這件衣服的進(jìn)價(jià)為x元,可列出方程$(1+50\%)x×80\%-x=10$,解得$x=50$,售價(jià)是$50×(1+50\%)×80\%=60$(元)。
解析：
設(shè)這件衣服的進(jìn)價(jià)為$x$元。
$(1 + 50\%)x × 80\% - x = 10$
$1.5x × 0.8 - x = 10$
$1.2x - x = 10$
$0.2x = 10$
$x = 50$
售價(jià)為：$50 × (1 + 50\%) × 80\% = 50 × 1.5 × 0.8 = 60$（元）
60
6. 一家運(yùn)動(dòng)超市購進(jìn)一批籃球,按30%的利潤(rùn)率定價(jià),售出50%后,開始打九折出售。這批籃球的實(shí)際利潤(rùn)率是多少？
答案：把這批籃球的進(jìn)價(jià)看作單位“1”,假設(shè)籃球的數(shù)量為100。$1+30\%=130\%$$1-50\%=50\%$$100×130\%×50\%+130\%×90\%×100×50\%-100=23.5$$23.5÷100=23.5\%$ 提示:把這批籃球的進(jìn)價(jià)看作單位“1”,假設(shè)籃球的數(shù)量為100,總進(jìn)價(jià)為$100×1=100$,每個(gè)籃球的定價(jià)為$1×(1+30\%)=1.3$。售出的$100×50\%=50$(個(gè))籃球的總價(jià)是$1.3×50=65$;剩下的50個(gè)籃球的總價(jià)是$1.3×90\%×50=58.5$,實(shí)際利潤(rùn)是$65+58.5-100=23.5$,實(shí)際利潤(rùn)率是$23.5÷100=23.5\%$。
解析：
把這批籃球的進(jìn)價(jià)看作單位“1”，假設(shè)籃球的數(shù)量為100個(gè)。
總進(jìn)價(jià)：$100×1 = 100$
定價(jià)：$1×(1 + 30\%) = 1.3$
售出50%的收入：$100×50\%×1.3 = 50×1.3 = 65$
剩余50%打九折后的售價(jià)：$1.3×90\% = 1.17$
剩余50%的收入：$100×50\%×1.17 = 50×1.17 = 58.5$
總售價(jià)：$65 + 58.5 = 123.5$
實(shí)際利潤(rùn)：$123.5 - 100 = 23.5$
實(shí)際利潤(rùn)率：$\frac{23.5}{100}×100\% = 23.5\%$
答：這批籃球的實(shí)際利潤(rùn)率是$23.5\%$。
7. 甲、乙兩位店主分別以同樣的價(jià)格購進(jìn)一種時(shí)裝,乙購進(jìn)的套數(shù)比甲多$\frac{1}{6},$然后甲、乙分別按80%與50%的利潤(rùn)出售,兩人全部售完后甲仍比乙多獲得一部分利潤(rùn),這部分利潤(rùn)又恰好夠他再購進(jìn)這種時(shí)裝13套(進(jìn)價(jià)不變),甲原來購進(jìn)這種時(shí)裝多少套？
答案：把進(jìn)價(jià)看作單位“1”,設(shè)甲原來購進(jìn)這種時(shí)裝x套,$80\%x-(1+\frac{1}{6})x×50\%=13$$x=60$提示:把進(jìn)價(jià)看作單位“1”,設(shè)甲原來購進(jìn)這種時(shí)裝x套,乙購進(jìn)的套數(shù)比甲多$\frac{1}{6}$,則乙購進(jìn)$(1+\frac{1}{6})x$套,甲、乙分別按80%與50%的利潤(rùn)出售,兩人全部售完后甲仍比乙獲得一部分利潤(rùn),這部分利潤(rùn)又恰好夠他再購進(jìn)這種時(shí)裝13套,即甲購進(jìn)套數(shù)的80%的進(jìn)價(jià)與乙購進(jìn)套數(shù)的50%的進(jìn)價(jià)之差等于再購進(jìn)的13套時(shí)裝的進(jìn)價(jià),列方程:$80\%x-(1+\frac{1}{6})x×50\%=13$,解得$x=60$。
解析：
設(shè)甲原來購進(jìn)這種時(shí)裝$x$套，把進(jìn)價(jià)看作單位“1”。
乙購進(jìn)的套數(shù)為$(1 + \frac{1}{6})x = \frac{7}{6}x$套。
甲的利潤(rùn)為$80\%x$，乙的利潤(rùn)為$50\% × \frac{7}{6}x$。
根據(jù)題意可列方程：
$80\%x - 50\% × \frac{7}{6}x = 13$
化簡(jiǎn)方程：
$0.8x - 0.5 × \frac{7}{6}x = 13$
$\frac{4}{5}x - \frac{7}{12}x = 13$
$\frac{48}{60}x - \frac{35}{60}x = 13$
$\frac{13}{60}x = 13$
$x = 60$
答：甲原來購進(jìn)這種時(shí)裝60套。
