4. 推導(dǎo)探究 $\frac {4}{9}×\frac {3}{5}＜\frac {5}{□}$,□里最大能填幾？下面是樂樂的分析。
①分析：$\frac {4}{9}×\frac {3}{5}= \frac {4}{15}$,即$\frac {4}{15}＜\frac {5}{□}$；
②將兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子變相同,則有$\frac {4}{15}= \frac {20}{75},\frac {5}{□}=\frac {20}{4×□}$；
③進(jìn)而可知$\frac {20}{75}＜\frac {20}{4×□},75＞4×□$,所以□里最大填( )。
(1)將樂樂的分析過(guò)程補(bǔ)充完整。
(2)請(qǐng)你根據(jù)樂樂的方法,解決問(wèn)題：$\frac {3}{8}×\frac {□}{9}＜\frac {5}{6}$,□里最大能填幾？
答案：(1)18
(2)$\frac{3}{8}×\frac{□}{9}=\frac{□}{24}＜\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$ $□ ＜20$ 最大能填19 提示:$\frac{3}{8}×\frac{□}{9}=\frac{□}{24}$,$\frac{□}{24}＜\frac{5}{6}$,將兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母變相同,$\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$。因?yàn)?\frac{3}{8}×\frac{□}{9}＜\frac{5}{6}$,所以$\frac{□}{24}＜\frac{20}{24}$,即$□ ＜20$,$□$里最大能填19。
5. 數(shù)感 三個(gè)不同質(zhì)數(shù)的倒數(shù)的和是$\frac {71}{105}$,這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少？
答案：$105=3×5×7$ $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{71}{105}$ 這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是3、5、7。提示:因?yàn)槿齻€(gè)不同的質(zhì)數(shù)的倒數(shù)相加,通分后分母是這三個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的積,由于$105=3×5×7$,且$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{35}{105}+\frac{21}{105}+\frac{15}{105}=\frac{71}{105}$,所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是3、5、7。
解析：
因?yàn)槿齻€(gè)不同質(zhì)數(shù)的倒數(shù)相加，通分后分母是這三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，已知和的分母為105，將105分解質(zhì)因數(shù)可得$105 = 3×5×7$。
計(jì)算這三個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和：$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}$
通分計(jì)算：$\frac{35}{105} + \frac{21}{105} + \frac{15}{105} = \frac{35 + 21 + 15}{105} = \frac{71}{105}$，與已知條件相符。
這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是3、5、7。
6. (1)已知$A= \frac {1}{8},B= \frac {1}{8^{2}}+\frac {1}{9^{2}}+\frac {1}{10^{2}}+... +\frac {1}{64^{2}}$,請(qǐng)比較A和B的大小。
(2)$A= \frac {1}{2}×\frac {3}{4}×\frac {5}{6}×... ×\frac {97}{98}×\frac {99}{100},B= \frac {2}{3}×\frac {4}{5}×\frac {6}{7}×... ×\frac {96}{97}×\frac {98}{99},C= \frac {1}{10}$,請(qǐng)比較A、B、C三個(gè)數(shù)的大小。
答案：
(1)$A＞B$ 提示:$B＜\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{8×9}+\frac{1}{9×10}+…+\frac{1}{63×64}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+…+\frac{1}{63}-\frac{1}{64}=\frac{1}{8}$,所以$A＞B$。
(2)$A＜C＜B$ 提示:注意到$A×B=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×…×\frac{97}{98}×\frac{98}{99}×\frac{99}{100}=\frac{1}{100}$,且$A=\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}×…×\frac{99}{100}＜\frac{2}{3}×\frac{4}{5}×\frac{6}{7}×…×\frac{98}{99}×\frac{100}{101}=B$,所以$A^{2}＜A×B=\frac{1}{100}$,即$A＜\frac{1}{10}$;同理,$B^{2}＞A×B=\frac{1}{100}$,即$B＞\frac{1}{10}$。綜上,$A＜C＜B$。
