例1 先觀察,再通過計(jì)算比較大小。
$ \frac{1}{2} × \frac{1}{3} ? \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $
$ \frac{1}{3} × \frac{1}{4} ? \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $
$ \frac{1}{4} × \frac{1}{5} ? \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $
$ \frac{1}{5} × \frac{1}{6} ? \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $
(1) 根據(jù)上面算式中蘊(yùn)含的規(guī)律再寫一道這樣的算式：
$\frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$
；
(2) 計(jì)算：$ \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + … + \frac{1}{49 × 50} 。$
分析：通過計(jì)算可知,每組中兩道算式的結(jié)果相等。(1) 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)上面算式的特點(diǎn)：兩個分?jǐn)?shù)的分子都是1,分母是相鄰的兩個非零自然數(shù),這樣的兩個分?jǐn)?shù)的積等于它們的差。符合這一特點(diǎn)的算式有無數(shù)道,如：$ \frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} ；$(2) 根據(jù)(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,我們可以把算式中的每個加數(shù)看作兩個分?jǐn)?shù)的積,然后寫成兩個分?jǐn)?shù)的差的形式,再將一些分?jǐn)?shù)通過互相抵消,從而使計(jì)算簡便,比如$ \frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} 。$
解答：= = = =
(1) 答案不唯一,如：$ \frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} (2) \begin{aligned} & \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + … + \frac{1}{49 × 50} \\ = & \frac{1}{2} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × \frac{1}{4} + \frac{1}{4} × \frac{1}{5} + … + \frac{1}{49} × \frac{1}{50} \\ = & \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + … + \frac{1}{49} - \frac{1}{50} \\ = & \frac{1}{2} - \frac{1}{50} \\ = & \frac{12}{25} \end{aligned} $
答案：解析：
本題考查分?jǐn)?shù)乘法的規(guī)律。
(1) 通過觀察給出的算式，可以發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：兩個分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是相鄰的兩個非零自然數(shù)，這樣的兩個分?jǐn)?shù)的積等于它們的差。根據(jù)這個規(guī)律，可以寫出無數(shù)道符合條件的算式。
(2) 根據(jù)(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，將每個加數(shù)看作兩個分?jǐn)?shù)的積，然后寫成兩個分?jǐn)?shù)的差的形式，再進(jìn)行計(jì)算。
答案：
(1) 答案不唯一，如：$\frac{1}{9} × \frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$
(2)
$\;\;\;\;\frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + \ldots + \frac{1}{49 × 50}$
$=\frac{1}{2} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × \frac{1}{4} + \frac{1}{4} × \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{49} × \frac{1}{50}$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{49} - \frac{1}{50}$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{50}$
$= \frac{25}{50} - \frac{1}{50}$
$= \frac{24}{50}$
$= \frac{12}{25}$
$1. $計(jì)算：$ \frac{1}{2000 × 2001} + \frac{1}{2001 × 2002} + … + \frac{1}{2024 × 2025} + \frac{1}{2025 × 2026} + \frac{1}{2026} 。$
答案：$\frac{1}{2000×2001}+\frac{1}{2001×2002}+\cdots+\frac{1}{2024×2025}+\frac{1}{2025×2026}+\frac{1}{2026}=\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001}+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}+\cdots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}+\frac{1}{2026}=\frac{1}{2000}$
提示：$\frac{1}{a×(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$($a$是大于0的自然數(shù))。
$2. $計(jì)算：$ \frac{1000}{1 × 2} + \frac{1000}{2 × 3} + \frac{1000}{3 × 4} + … + \frac{1000}{2025 × 2026} 。$
答案：$\frac{1000}{1×2}+\frac{1000}{2×3}+\frac{1000}{3×4}+\cdots+\frac{1000}{2025×2026}$
$=(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{2025×2026})×1000$
$=(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})×1000$
$=(1-\frac{1}{2026})×1000=\frac{2025}{2026}×1000$
$=\frac{2025000}{2026}=\frac{1012500}{1013}$ 提示：先將分子1000提取出來，再將$\frac{1}{a×(a+1)}$($a$為大于0的自然數(shù))裂項(xiàng)為$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$進(jìn)行計(jì)算。
$3. $計(jì)算：$ \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + … + \frac{1}{72} + \frac{1}{90} 。$
答案：$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\cdots+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}$
$=\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\cdots+\frac{1}{8×9}+\frac{1}{9×10}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$
提示：觀察分?jǐn)?shù)的分母，可以改寫為相鄰兩個自然數(shù)的乘積，改寫后再裂項(xiàng)。
$4. $計(jì)算：$ \frac{1}{3 × 5} + \frac{1}{5 × 7} + \frac{1}{7 × 9} + … + \frac{1}{97 × 99} 。$
答案：$\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+\cdots+\frac{1}{97×99}$
$=(\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+\frac{2}{7×9}+\cdots+\frac{2}{97×99})×\frac{1}{2}$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{97}-\frac{1}{99})×\frac{1}{2}$
$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{99})×\frac{1}{2}=\frac{32}{99}×\frac{1}{2}=\frac{16}{99}$
提示：每個分?jǐn)?shù)的分母都可以表示為連續(xù)兩個奇數(shù)相乘的形式。因?yàn)?\frac{2}{a×(a+2)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}$($a$為非0自然數(shù))，所以將原式中的每個分?jǐn)?shù)都乘2，讓分子變成2，最后再將總和乘$\frac{1}{2}$，不改變積的大小。
