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1. 數(shù)學(xué)文化我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中寫(xiě)到“方自乘,以高乘之即積尺”,若一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體容器的內(nèi)部長(zhǎng)、寬、高分別為$\frac {2}{3}$分米,$\frac {2}{3}$分米,$\frac {8}{5}$分米,則這個(gè)容器的容積是(

$\frac{32}{45}$

)升。

答案：$\frac{32}{45}$ 提示:根據(jù)題意,用底面正方形的邊長(zhǎng)相乘,再乘高,就是容器的容積,即$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{8}{5}=\frac{32}{45}$(立方分米),$\frac{32}{45}$立方分米=$\frac{32}{45}$升。

解析：

$\frac{2}{3} × \frac{2}{3} × \frac{8}{5} = \frac{32}{45}$（立方分米），$\frac{32}{45}$立方分米$= \frac{32}{45}$升。
$\frac{32}{45}$

2. 人文歷史《莊子·天下》中有這樣一段話：“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭?！贝笠馐牵阂桓竟?第一天截取它的一半,以后每天截取剩下部分的一半,永遠(yuǎn)也截不完”。

照這樣推算,第5次截取后剩下$\frac {1}{(

)}$,第(

)次截取后還剩下$\frac {1}{512}$。

答案：32 9 提示:第1次截取后剩下$\frac{1}{2}$,第2次截取后剩下$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$,第3次截取后剩下$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$……所以第5次截取后剩下$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{32}$,也就是5個(gè)$\frac{1}{2}$的積;因?yàn)?個(gè)$\frac{1}{2}$的積是$\frac{1}{512}$,所以第9次截取后剩下$\frac{1}{512}$。

解析：

第5次截取后剩下$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$；設(shè)第$n$次截取后剩下$\frac{1}{512}$，則$\frac{1}{2^n}=\frac{1}{512}$，$2^n=512$，$n=9$。
32 9

3. 算理理解來(lái)一起梳理我們學(xué)過(guò)的整數(shù)乘法、小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法吧！
$20×30$
$=(2×10)×(3×10)$
$=(2×3)×(10×10)$
$=6×100$
$=600$
$0.2×0.3$
$=(2×0.1)×(3×0.1)$
$=(2×3)×(0.1×0.1)$
$=6×0.01$
$=0.06$
$\frac {2}{5}×\frac {3}{5}$
(1)觀察前兩個(gè)算式,照樣子算一算第三個(gè)算式。

$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=(2×\frac{1}{5})×(3×\frac{1}{5})=(2×3)×(\frac{1}{5}×\frac{1}{5})=6×\frac{1}{25}=\frac{6}{25}$

(2)下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)。
A. 乘法運(yùn)算都可以用“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)×計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)”得到新的計(jì)數(shù)單位的總個(gè)數(shù)
B. 乘法運(yùn)算都可以用“計(jì)數(shù)單位×計(jì)數(shù)單位”得到新的計(jì)數(shù)單位
C. 當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位不同時(shí),以上規(guī)律不適用
(3)請(qǐng)你根據(jù)上面學(xué)到的知識(shí),分別證明$\frac {2}{3}×9= \frac {9}{3}×2,\frac {3}{4}×\frac {2}{9}= \frac {2}{4}×\frac {3}{9}$,并寫(xiě)一寫(xiě)證明思路。

$\frac{2}{3}×9=(\frac{1}{3}×2)×9=(\frac{1}{3}×9)×2=\frac{9}{3}×2$ $\frac{3}{4}×\frac{2}{9}=(3×\frac{1}{4})×(2×\frac{1}{9})=(2×\frac{1}{4})×(3×\frac{1}{9})=\frac{2}{4}×\frac{3}{9}$ 提示:因?yàn)?\frac{2}{3}$中有2個(gè)$\frac{1}{3}$,所以可以把$\frac{2}{3}$寫(xiě)成$2×\frac{1}{3}$,再根據(jù)乘法運(yùn)算律,將$\frac{1}{3}$與9結(jié)合先算,這兩個(gè)數(shù)的積是$\frac{9}{3}$,故$\frac{2}{3}×9=\frac{9}{3}×2$。因?yàn)?\frac{3}{4}$中有3個(gè)$\frac{1}{4}$,$\frac{2}{9}$中有2個(gè)$\frac{1}{9}$,所以可以把$\frac{3}{4}$寫(xiě)成$3×\frac{1}{4}$,把$\frac{2}{9}$寫(xiě)成$2×\frac{1}{9}$,再根據(jù)乘法運(yùn)算律,將2與$\frac{1}{4}$結(jié)合,3與$\frac{1}{9}$結(jié)合,它們的積分別是$\frac{2}{4}$和$\frac{3}{9}$,故$\frac{3}{4}×\frac{2}{9}=\frac{2}{4}×\frac{3}{9}$。

答案：
(1)$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=(2×\frac{1}{5})×(3×\frac{1}{5})=(2×3)×(\frac{1}{5}×\frac{1}{5})=6×\frac{1}{25}=\frac{6}{25}$ 提示:仿照范例,根據(jù)“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)×計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)”寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程即可。
(2)C 提示:當(dāng)計(jì)數(shù)單位不同時(shí),規(guī)律仍然適用,如:$20×0.3=(2×10)×(3×0.1)=(2×3)×(10×0.1)=6×1=6$。
(3)$\frac{2}{3}×9=(\frac{1}{3}×2)×9=(\frac{1}{3}×9)×2=\frac{9}{3}×2$ $\frac{3}{4}×\frac{2}{9}=(3×\frac{1}{4})×(2×\frac{1}{9})=(2×\frac{1}{4})×(3×\frac{1}{9})=\frac{2}{4}×\frac{3}{9}$ 提示:因?yàn)?\frac{2}{3}$中有2個(gè)$\frac{1}{3}$,所以可以把$\frac{2}{3}$寫(xiě)成$2×\frac{1}{3}$,再根據(jù)乘法運(yùn)算律,將$\frac{1}{3}$與9結(jié)合先算,這兩個(gè)數(shù)的積是$\frac{9}{3}$,故$\frac{2}{3}×9=\frac{9}{3}×2$。因?yàn)?\frac{3}{4}$中有3個(gè)$\frac{1}{4}$,$\frac{2}{9}$中有2個(gè)$\frac{1}{9}$,所以可以把$\frac{3}{4}$寫(xiě)成$3×\frac{1}{4}$,把$\frac{2}{9}$寫(xiě)成$2×\frac{1}{9}$,再根據(jù)乘法運(yùn)算律,將2與$\frac{1}{4}$結(jié)合,3與$\frac{1}{9}$結(jié)合,它們的積分別是$\frac{2}{4}$和$\frac{3}{9}$,故$\frac{3}{4}×\frac{2}{9}=\frac{2}{4}×\frac{3}{9}$。

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