例1 如圖,有一個長方體,中間挖去一個正方體,求剩下物體的表面積。(單位：厘米)
分析：從圖中可以看出剩下物體的表面積比原來增加了,正方體的底面向上平移到與長方體上面平齊,所求剩下物體的表面積就是原長方體的表面積與挖去的正方體的前、后、左、右四個面的面積和。
解答：$(10×5+10×6+5×6)×2+3×3×4= 316$(平方厘米)
答案：分析：
本題考查長方體、正方體表面積的計算。
從圖中可以看出剩下物體的表面積比原來增加了，正方體的底面向上平移到與長方體上面平齊，所求剩下物體的表面積就是原長方體的表面積與挖去的正方體的前、后、左、右四個面的面積和。
長方體的表面積為：$2×(長×寬+長×高+寬×高)$，
正方體的四個側(cè)面面積為：$4×棱長×棱長$。
解答：
$(10×5 + 10×6 + 5×6)×2 + 3×3×4$
$= (50 + 60 + 30)×2 + 36$
$= 140×2 + 36$
$= 280 + 36$
$= 316(平方厘米)$
所以，剩下物體的表面積是$316$平方厘米。
1. 從一個棱長為8厘米的正方體木料上,割去一個長8厘米,寬和高都是3厘米的小長方體木料,有如圖三種方法,剩余部分的表面積按從大到小排列是(
③②①
)。(填序號)
答案：③②① 提示:利用平移可發(fā)現(xiàn),切割前后,題圖①表面積和之前相比,少了兩個邊長為3厘米的小正方形的面積,所以剩余部分的表面積為8×8×6 - 3×3×2 = 366(平方厘米);題圖②表面積和之前相比,少了兩個邊長為3厘米的小正方形的面積,多了兩個長8厘米、寬3厘米的小長方形的面積,所以剩余部分的表面積為8×8×6 + 3×8×2 - 3×3×2 = 414(平方厘米);題圖③表面積和之前相比,少了兩個邊長為3厘米的小正方形的面積,多了四個長8厘米、寬3厘米的小長方形的面積,所以剩余部分的表面積為8×8×6 + 3×8×4 - 3×3×2 = 462(平方厘米)。因為366 ＜ 414 ＜ 462,所以③ ＞ ② ＞ ①,故填③②①。
2. 在一個長、寬、高分別是8厘米、5厘米、4厘米的長方體的8個頂點處,分別截下一個棱長為1厘米的小正方體后,剩下物體的表面積是(
184
)平方厘米。
答案：184 提示:剩下物體的表面積與原來長方體的表面積相同,是(8×5 + 8×4 + 5×4)×2 = 184(平方厘米)。
解析：
原來長方體表面積為$(8×5 + 8×4 + 5×4)×2$
$=(40 + 32 + 20)×2$
$=92×2$
$=184$（平方厘米）
在頂點處截下小正方體，每個頂點處減少3個小正方形面，同時增加3個小正方形面，表面積不變，故剩下物體表面積是184平方厘米。
184
3. 如圖,在一個棱長為5分米的正方體上面的正中間向下挖一個棱長為2分米的正方體小洞,接著在小洞的底面正中間再向下挖一個棱長為1分米的正方體小洞。挖洞后的立體圖形的表面積是多少平方分米？
答案：5×5×6 + 2×2×4 + 1×1×4 = 170(平方分米) 提示:將挖洞后棱長為1分米的正方體的底面與棱長為2分米的正方體的底面都向上平移至棱長為5分米的正方體的上面,這樣挖洞后的立體圖形的表面積 = 棱長為5分米的正方體表面積 + 棱長為2分米的正方體的四個側(cè)面面積之和 + 棱長為1分米的正方體的四個側(cè)面面積之和。
解析：
$5×5×6 + 2×2×4 + 1×1×4$
$=25×6 + 4×4 + 1×4$
$=150 + 16 + 4$
$=170$（平方分米）
答：挖洞后的立體圖形的表面積是170平方分米。
例2 一根高3米的長方體鋼材,其底面是正方形。截去75厘米長的一段后,剩下的鋼材的表面積比原來減少1.2平方米,求原來鋼材的體積。
分析：如圖,截去75厘米長的一段后,它的表面積和原來相比,只減少了高是75厘米的一段長方體鋼材的側(cè)面的面積。根據(jù)減少的表面積和這根鋼材的底面是正方形,可求出這根鋼材的底面邊長,再利用公式求出原長方體鋼材的體積。
解答：75厘米= 0.75米 $1.2÷0.75= 1.6$(米)
$1.6÷4= 0.4$(米) $0.4×0.4×3= 0.48$(立方米)
答案：本題可先將單位統(tǒng)一，再根據(jù)減少的表面積求出底面周長，進而求出底面邊長，最后根據(jù)長方體體積公式求出原來鋼材的體積。
步驟一：單位換算
因為$1$米$ = 100$厘米，所以$75$厘米換算為米是：$75÷100 = 0.75$米。
步驟二：求底面周長
截去$75$厘米長的一段后，表面積減少的部分就是高為$0.75$米的長方體的側(cè)面積。
根據(jù)長方體側(cè)面積公式$S = Ch$（其中$S$為側(cè)面積，$C$為底面周長，$h$為高），已知側(cè)面積$S = 1.2$平方米，高$h = 0.75$米，可得底面周長$C$為：
$1.2÷0.75 = 1.6$（米）
步驟三：求底面邊長
因為該長方體鋼材底面是正方形，正方形的周長公式為$C = 4a$（其中$C$為周長，$a$為邊長），已知底面周長$C = 1.6$米，所以底面邊長$a$為：
$1.6÷4 = 0.4$（米）
步驟四：求原來鋼材的體積
根據(jù)長方體體積公式$V = Sh$（其中$V$為體積，$S$為底面積，$h$為高），已知底面邊長$a = 0.4$米，則底面積$S = 0.4×0.4 = 0.16$平方米，原來鋼材的高$h = 3$米，所以原來鋼材的體積$V$為：
$0.4×0.4×3 = 0.48$（立方米）
綜上，原來鋼材的體積是$0.48$立方米。
4. (1)一個正方體,如果高增加3厘米,它的表面積就增加60平方厘米,原來這個正方體的體積是( )立方厘米。
(2)一個長方體,從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后,便成為一個正方體,其表面積減少了120平方厘米,原長方體的體積是( )立方厘米。
答案：(1)125 提示:高增加3厘米,表面積就增加60平方厘米,則正方體的底面周長是60÷3 = 20(厘米),正方體的棱長是20÷4 = 5(厘米),體積是5×5×5 = 125(立方厘米)。
(2)396 提示:如圖,表面積減少了120平方厘米,指高度分別為2厘米和3厘米的兩個長方體前、后、左、右四個面的面積之和,那么正方體的底面周長是120÷(2 + 3) = 24(厘米),正方體的棱長就是24÷4 = 6(厘米)。這樣原長方體的體積就可以求出了。
