5. 數(shù)形結合
我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微。”在數(shù)學中,數(shù)與形之間可以相互轉化。樂樂利用數(shù)形結合的方法來驗證$a^{2}-b^{2}= (a + b)×(a - b)$。
在邊長為$a的正方形紙片上剪去一個邊長為b$($b ＜ a$)的小正方形,剩余部分的面積可以用兩種方法來求出,如圖。
(1)請你幫他將圖中的標注補全。
a + b
a - b
(2)請你應用上面的方法來計算。
$(1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3}×\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4}×\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{2026}×\frac{1}{2026})$。
$(1 - 1/2×1/2)×(1 - 1/3×1/3)×(1 - 1/4×1/4)×…×(1 - 1/2026×1/2026)=(1 + 1/2)×(1 - 1/2)×(1 + 1/3)×(1 - 1/3)×(1 + 1/4)×(1 - 1/4)×…×(1 + 1/2026)×(1 - 1/2026)=3/2×1/2×4/3×2/3×5/4×3/4×…×2027/2026×2025/2026=1/2×2027/2026=2027/4052$
答案：
(1)a + b a - b 提示:大正方形的邊長是a,剪去的部分是邊長為b的小正方形,那么拼成的大長方形的長是(a + b),寬是(a - b)。
(2)(1 - 1/2×1/2)×(1 - 1/3×1/3)×(1 - 1/4×1/4)×…×(1 - 1/2026×1/2026)=(1 + 1/2)×(1 - 1/2)×(1 + 1/3)×(1 - 1/3)×(1 + 1/4)×(1 - 1/4)×…×(1 + 1/2026)×(1 - 1/2026)=3/2×1/2×4/3×2/3×5/4×3/4×…×2027/2026×2025/2026=1/2×2027/2026=2027/4052
提示:1 - 1/2×1/2 = 12-(1/2)2,1 - 1/3×1/3 = 12-(1/3)2……由上面的方法,可知a2 - b2=(a + b)×(a - b),將算式轉化為(a + b)×(a - b),化簡后即可算出得數(shù)。
6. 分類討論
如圖,點$D是等腰直角三角形ABC的底邊AB$的中點,點$P在線段AB$上移動,點$Q是線段AP$的中點。某一時刻$PD = \frac{3}{2}$分米,$PQ = \frac{5}{2}$分米。
(1)此時線段$BP$的長度是多少分米？
(2)三角形$ABC$的面積是多少平方分米？
答案：
(1)(5/2+5/2+3/2)×2 - 5/2×2 = 8(分米)或(5/2+5/2 - 3/2)×2 - 5/2×2 = 2(分米) 提示:當點P在點D的左側時,BP = (5/2+5/2+3/2)×2 - 5/2×2 = 8(分米)。當點P在點D的右側時,BP = (5/2+5/2 - 3/2)×2 - 5/2×2 = 2(分米)。
(2)①AD=5/2×2 + 3/2=13/2(分米)13/2×13/2=169/4(平方分米)②AD=5/2×2 - 3/2=7/2(分米)7/2×7/2=49/4(平方分米)所以三角形ABC的面積是169/4平方分米或49/4平方分米。 提示:連接CD,因為三角形ABC為等腰直角三角形,點D是底邊AB的中點,所以AB = 2AD = 2CD,且CD垂直于AB,所以AD = CD,S三角形ABC=AB×CD÷2 = 2AD×CD÷2 = AD×CD = AD×AD。當點P在點D的左側時,AD=5/2 + 5/2 + 3/2=13/2(分米),則S三角形ABC=13/2×13/2=169/4(平方分米);當點P在點D的右側時,AD=5/2 + 5/2 - 3/2=7/2(分米),則S三角形ABC=7/2×7/2=49/4(平方分米)。綜上,三角形ABC的面積為169/4平方分米或49/4平方分米。
7. 極限思想
如果$A = 1÷(\frac{1}{90}+\frac{1}{91}+\frac{1}{92}+…+\frac{1}{98}+\frac{1}{99})$,那么$A$的整數(shù)部分是多少？
答案：因為1/90＞1/91＞1/92＞…＞1/99,所以1/90+1/91+1/92+…+1/98+1/99＜1/90×10=1/9,1/90+1/91+1/92+…+1/98+1/99＞1/99×10=10/99。所以9＜A＜99/10,即9＜A＜9.9,所以A的整數(shù)部分是9。
解析：
因為$\frac{1}{90}＞\frac{1}{91}＞\frac{1}{92}＞\dots＞\frac{1}{99}$，所以$\frac{1}{90}+\frac{1}{91}+\frac{1}{92}+\dots+\frac{1}{98}+\frac{1}{99}＜\frac{1}{90}×10=\frac{1}{9}$，$\frac{1}{90}+\frac{1}{91}+\frac{1}{92}+\dots+\frac{1}{98}+\frac{1}{99}＞\frac{1}{99}×10=\frac{10}{99}$。因此$9 ＜ A ＜ \frac{99}{10}$，即$9 ＜ A ＜ 9.9$，故$A$的整數(shù)部分是$9$。
8. 代換思想
樂樂將1440毫升的水裝入甲、乙兩個壺中,若先裝滿甲壺,剩余的水可裝乙壺的$\frac{1}{2}$,若先裝滿乙壺,剩余的水可裝甲壺的$\frac{4}{5}$,則這兩個壺分別可以裝多少毫升的水？
答案：甲壺:1440÷6×5 = 1200(毫升) 乙壺:1200÷5×2 = 480(毫升)
提示:因為甲壺 + 乙壺 = 甲壺+1/2乙壺+1/2乙壺 = 乙壺+4/5甲壺+1/5甲壺,由題知甲壺+1/2乙壺 = 乙壺+4/5甲壺= 1440毫升,所以1/2乙壺=1/5甲壺,把1440毫升平均分成6份,那么甲壺占其中的5份,即甲壺= 1440÷6×5 = 1200(毫升),乙壺= 1200÷5×2 = 480(毫升)。
