3. 如圖,已知平行四邊形ABCD的底是8分米,高是6分米,涂色部分的面積是16平方分米。求四邊形EFGH的面積。
答案：3.16 - 8×6÷4 = 4(平方分米) 提示:三角形BAE與三角形CAE同底等高,則它們的面積相等。從這兩個(gè)三角形中同時(shí)減去三角形AEF,則剩下的面積相等,即三角形ABF的面積與三角形CEF的面積相等。要求四邊形EFGH的面積,就相當(dāng)于用題圖中涂色部分的面積減去三角形DGC的面積。
解析：
$8×6÷4 = 12$（平方分米）
$16 - 12 = 4$（平方分米）
答：四邊形EFGH的面積是4平方分米。
4. 如圖,大正方形的邊長(zhǎng)是5厘米,涂色部分的面積是10平方厘米,則點(diǎn)F到AD的距離是多少厘米?
答案：4.10×2÷5 = 4(厘米) 提示:易知三角形ABC的面積 = 三角形ADE的面積 = 正方形面積的一半,三角形AFE是兩個(gè)三角形的公共部分,所以三角形ADF的面積 = 涂色部分的面積 = 10平方厘米 = 5×高÷2,所以點(diǎn)F到AD的距離 = 10×2÷5 = 4(厘米)。
解析：
因?yàn)槿切?ABC$的面積與三角形$ADE$的面積均為正方形面積的一半，且三角形$AFE$是二者公共部分，所以三角形$ADF$的面積等于涂色部分的面積，即$10$平方厘米。
三角形$ADF$以$AD$為底，$AD = 5$厘米，設(shè)點(diǎn)$F$到$AD$的距離為$h$厘米，根據(jù)三角形面積公式可得：$\frac{1}{2} × 5 × h = 10$，解得$h = 10 × 2 ÷ 5 = 4$。
$4$
5. 如圖,邊長(zhǎng)分別為20厘米和30厘米的兩個(gè)正方形并排放在一起,求三角形ABC(涂色部分)的面積。
答案：5.20×30÷2 = 300(平方厘米) 300×2÷(20 + 30) = 12(厘米) 12×30÷2 = 180(平方厘米) 提示:如圖,連接BE。觀察發(fā)現(xiàn),三角形ABC與三角形EBC同底等高,則它們的面積相等。由此可推出$S_{三角形ADC}=S_{三角形EDB}$。三角形ADC的面積為20×30÷2 = 300(平方厘米),所以BC的長(zhǎng)為300×2÷(20 + 30) = 12(厘米),所以三角形ABC的面積為12×30÷2 = 180(平方厘米)。
例3 如圖,在正方形ABCD中,$AB= 40$厘米,$EC= 100$厘米,求涂色部分的面積。
分析:涂色部分的面積是三角形ABF的面積,只要知道AF的長(zhǎng)度就可以求出涂色部分的面積。要知道AF的長(zhǎng)度,那就要求出FD的長(zhǎng)度。
解答:如圖,連接FC。三角形FEC的面積為$100×40÷2-40×40÷2= 1200$(平方厘米),FD的長(zhǎng)度為$1200×2÷100= 24$(厘米),AF的長(zhǎng)為$40-24= 16$(厘米),涂色部分的面積為$40×16÷2= 320$(平方厘米)。
答案：本題可通過連接$FC$，利用三角形面積公式求出$FD$的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出$AF$的長(zhǎng)度，最后求出涂色部分（$\triangle ABF$）的面積。
步驟一：求$\triangle FEC$的面積
已知在正方形$ABCD$中$AB = 40$厘米，$EC = 100$厘米，$\triangle FEC$的面積可以用梯形$ECBA$的面積減去正方形$ABCD$的面積來(lái)計(jì)算。
根據(jù)梯形面積公式$S=(a + b)h÷2$（其中$a$、$b$ 為梯形的上底和下底，$h$為梯形的高），可得梯形$ECBA$的面積為$(100 + 40)×40÷2 = 2800÷2 = 1400÷2= 1200 + 40×40÷2$平方厘米；
正方形$ABCD$的面積為$40×40 = 1600÷2$平方厘米。
則$\triangle FEC$的面積為：
$\begin{aligned}&100×40÷2 - 40×40÷2\\=&(100 - 40)×40÷2\\=&60×40÷2\\=&2400÷2\\=& 1200（平方厘米）\end{aligned}$
步驟二：求$FD$的長(zhǎng)度
根據(jù)三角形面積公式$S = ah÷2$（其中$a$為三角形的底，$h$為三角形的高），對(duì)于$\triangle FEC$，以$EC$為底，$FD$為高，則$S_{\triangle FEC}=EC× FD÷2$。
已知$S_{\triangle FEC}=1200$平方厘米，$EC = 100$厘米，那么$FD$的長(zhǎng)度為：
$1200×2÷100 = 2400÷100 = 24$（厘米）
步驟三：求$AF$的長(zhǎng)度
因?yàn)?AD = AB = 40$厘米（正方形四條邊相等），$FD = 24$厘米，所以$AF$的長(zhǎng)度為：
$40 - 24 = 16$（厘米）
步驟四：求涂色部分（$\triangle ABF$）的面積
對(duì)于$\triangle ABF$，以$AB$為底，$AF$為高，根據(jù)三角形面積公式可得其面積為：
$40×16÷2 = 640÷2 = 320$（平方厘米）
綜上，涂色部分的面積是$320$平方厘米。
6. 如圖,在四邊形ABCD中,$AB= 3BE$,$AD= 3AF$,平行四邊形BODC的面積是90平方厘米,涂色部分的面積是多少平方厘米?
答案：6.90÷2 = 45(平方厘米) 提示:連接BD,從題圖中可以看出,三角形ABF與三角形ABD的高相等,AD = 3AF,則三角形ABD的面積是三角形ABF面積的3倍;同理可得三角形ABD的面積是三角形BDE面積的3倍。由此可以推出,三角形ABF與三角形BDE的面積相等。若從這兩個(gè)三角形中同時(shí)減去三角形BOE,則剩下的圖形面積相等,即四邊形AEOF與三角形BOD的面積相等。因?yàn)槿切蜝OD的面積是平行四邊形BODC面積的一半,所以四邊形AEOF的面積也是平行四邊形BODC面積的一半。四邊形AEOF的面積為90÷2 = 45(平方厘米)。
解析：
連接BD。
因?yàn)锳D=3AF，△ABF與△ABD高相等，所以S△ABD=3S△ABF。
同理，AB=3BE，△BDE與△ABD高相等，所以S△ABD=3S△BDE。
故S△ABF=S△BDE。
兩三角形同時(shí)減去S△BOE，得S四邊形AEOF=S△BOD。
平行四邊形BODC中，S△BOD=$\frac{1}{2}$S平行四邊形BODC=$\frac{1}{2}$×90=45平方厘米。
所以S涂色部分=S四邊形AEOF=45平方厘米。
答：涂色部分的面積是45平方厘米。
7. 如圖,已知長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是8厘米,寬是4厘米,涂色三角形GEC的面積是10平方厘米,求OF的長(zhǎng)。
答案：7.方法一:8 - 10×2÷4 = 3(厘米) 方法二:8×4÷2 - 10 = 6(平方厘米) 6×2÷4 = 3(厘米) 提示:方法一:如圖①,連接OA、OB。觀察發(fā)現(xiàn),三角形AEO與三角形GEO同底等高,則它們的面積相等;同理,三角形BEO與三角形CEO的面積相等。由此可推出,$S_{三角形AEO}+S_{三角形BEO}=S_{三角形GEO}+S_{三角形CEO}$,即$S_{三角形AOB}=S_{三角形GEC}$,所以三角形AOB的面積是10平方厘米,底AB的長(zhǎng)是4厘米,可求出高OE的長(zhǎng)為10×2÷4 = 5(厘米)。然后用EF的長(zhǎng)減去OE的長(zhǎng),就可以求出OF的長(zhǎng)為8 - 5 = 3(厘米)。
方法二:如圖②,連接DE、DO。觀察發(fā)現(xiàn),三角形GEO與三角形DEO同底等高,則它們的面積相等。用三角形ECD的面積減去涂色部分的面積,就可以求出三角形OCD的面積,為8×4÷2 - 10 = 6(平方厘米)。三角形OCD的底CD的長(zhǎng)為4厘米,則它的高OF的長(zhǎng)為6×2÷4 = 3(厘米)。
8. 如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4分米,E為AD的中點(diǎn),P為CE的中點(diǎn),求三角形BPD(涂色部分)的面積。
答案：8.4×4÷2 = 8(平方分米) (4÷2)×4÷2 = 4(平方分米) 8 - 8÷2 - 4÷2 = 2(平方分米) 提示:如圖,連接BE。觀察發(fā)現(xiàn),三角形EBC、三角形DBC同底等高,它們的面積都是正方形ABCD面積的一半,為4×4÷2 = 8(平方分米)。由于E為AD的中點(diǎn),則三角形DEC的面積為(4÷2)×4÷2 = 4(平方分米)。由于P為CE的中點(diǎn),則三角形DEP與三角形DCP等底同高,面積相等,三角形DCP的面積相當(dāng)于三角形DEC面積的一半,面積為4÷2 = 2(平方分米);同理,三角形BCP的面積為8÷2 = 4(平方分米)。要求三角形BPD的面積,只需用三角形DBC的面積減去三角形BCP的面積,再減去三角形DCP的面積即可,列式為8 - 4 - 2 = 2(平方分米)。
