例2 如圖,梯形 $ABCD$ 中,$E$ 是腰 $AB$ 的中點,連接 $ED$、$EC$。三角形 $EDC$ 的面積是梯形 $ABCD$ 面積的(
一半
)。
我的思考
我的驗證
將兩個完全相同的梯形 $ABCD$ 拼成平行四邊形 $ABA'B'$,$E$、$E'$ 分別是邊 $AB$、$A'B'$ 的中點,連接 $EE'$,四邊形 $AEE'B'$ 和四邊形 $EBA'E'$ 都是平行四邊形。易知四邊形 $DECE'$ 的面積是平行四邊形 $ABA'B'$ 面積的(
一半
),三角形 $EDC$ 的面積是梯形 $ABCD$ 面積的(
一半
)。
解析：
設(shè)梯形$ABCD$的上底為$AD = a$，下底為$BC = b$，高為$h$，則梯形面積$S_{梯形ABCD}=\frac{(a + b)h}{2}$。
過$E$作$EF \perp AD$交$AD$于$F$，延長$FE$交$BC$于$G$。因為$E$是$AB$中點，$AD// BC$，所以$EF = EG=\frac{h}{2}$。
$S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}AD \cdot EF=\frac{1}{2}a \cdot \frac{h}{2}=\frac{ah}{4}$，$S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}BC \cdot EG=\frac{1}{2}b \cdot \frac{h}{2}=\frac{bh}{4}$。
$S_{\triangle EDC}=S_{梯形ABCD}-S_{\triangle AED}-S_{\triangle BEC}=\frac{(a + b)h}{2}-\frac{ah}{4}-\frac{bh}{4}=\frac{(a + b)h}{4}=\frac{1}{2}S_{梯形ABCD}$。
一半
