2. 一個(gè)長方體,如果長減少2cm,寬和高都不變,那么它的體積減少$48cm^3；$如果寬增加3cm,長和高都不變,那么它的體積增加$99cm^3；$如果高增加4cm,長和寬都不變,那么它的體積增加$352cm^3。$原來長方體的表面積是多少平方厘米？
答案：48÷2 = 24(cm2)
99÷3 = 33(cm2)
352÷4 = 88(cm2)
(24 + 33 + 88)×2 = 290(cm2)
【提示】根據(jù)長減少2cm，寬和高都不變，體積減少48cm3，用減少的體積除以減少的長即得左面或右面的面積。用同樣的方法可以求出前面或后面、上面或下面的面積。
例2 如果把12件同樣的長方體物品打包,形成一件大的包裝物。下面圖2、圖3兩種打包方式,哪種打包方法物品的表面積較?。?a＞b＞c)
答案：解析：
本題考查長方體表面積的計(jì)算，以及通過比較不同打包方式下大長方體表面積大小，判斷哪種打包方式表面積最小，涉及到對長方體表面積公式的運(yùn)用和根據(jù)字母取值范圍進(jìn)行大小比較的知識(shí)點(diǎn)。
計(jì)算圖 2“$3×4$”打包方式的大長方體表面積：
將 12 個(gè)小長方體按“$3×4$”的方式打包，此時(shí)大長方體的長為$4b$，寬為$3c$，高為$a$。
根據(jù)長方體表面積公式$S=(長×寬 + 長×高 + 寬×高)×2$，可得其表面積為：
$\;\;\;\;2(a×3c + a×4b + 3c×4b)$
$= 2(3ac + 4ab + 12bc)$
$= 6ac + 8ab + 24bc$
$= 6ab + 8ac + 24bc$（通過交換律調(diào)整順序，方便后續(xù)比較）
計(jì)算圖 3“$2×6$”打包方式的大長方體表面積：
將 12 個(gè)小長方體按“$2×6$”的方式打包，此時(shí)大長方體的長為$6b$，寬為$2c$，高為$a$。
同樣根據(jù)長方體表面積公式，可得其表面積為：
$\;\;\;\;2(a×2c + a×6b + 2c×6b)$
$= 2(2ac + 6ab + 12bc)$
$= 4ac + 12ab + 24bc$
$= 4ab + 12ac + 24bc$（通過交換律調(diào)整順序，方便后續(xù)比較）
比較兩種打包方式的表面積大?。?br>用圖 2 的表面積減去圖 3 的表面積：
$(6ab + 8ac + 24bc) - (4ab + 12ac + 24bc)$
$= 6ab + 8ac + 24bc - 4ab - 12ac - 24bc$
$= 2ab - 4ac$
分情況討論：
當(dāng)$2ab - 4ac = 0$，即$2ab = 4ac$，$b = 2c$時(shí)，兩種打包方法表面積相同。
當(dāng)$2ab - 4ac＜ 0$，即$2ab＜ 4ac$，$b＜ 2c$時(shí)，圖 2“$3×4$”的打包方法表面積最小。
當(dāng)$2ab - 4ac＞ 0$，即$2ab＞ 4ac$，$b＞ 2c$時(shí)，圖 3“$2×6$”的打包方法表面積最小。
答案：
當(dāng)$b = 2c$時(shí)，兩種打包方法表面積相同；當(dāng)$b＜ 2c$時(shí)，圖 2“$3×4$”的打包方法表面積最小；當(dāng)$b＞ 2c$時(shí)，圖 3“$2×6$”的打包方法表面積最小。
3. 一塊肥皂的形狀是長方體,它的長是9厘米,寬是5厘米,高是2厘米。把10塊這樣的肥皂包裝在一起形成一個(gè)大長方體,至少需要多少平方厘米包裝紙？(包裝紙的重疊部分忽略不計(jì))
答案：包裝成長為9厘米、寬和高都為10厘米的大長方體時(shí)最省包裝紙。
10×10×2 + 9×10×4 = 560(平方厘米)
【提示】將幾個(gè)完全一樣的長方體拼成一個(gè)更大的長方體，要想表面積最小，必須盡可能將較大的面重疊在一起。
4. 一個(gè)小禮品盒的形狀是長9厘米、寬6厘米、高4厘米的長方體。請你幫廠家設(shè)計(jì)一個(gè)能裝10個(gè)小禮品盒的大紙箱,你覺得怎樣設(shè)計(jì)比較合理？為什么？(紙箱厚度忽略不計(jì))
答案：“2×5”的包法：盡可能讓較大面重合，可以疊成一個(gè)長為9厘米、寬為12厘米、高為20厘米的長方體，它的表面積為(9×12 + 9×20 + 12×20)×2 = 1056(平方厘米)。
“1×10”的包法：把10個(gè)小禮品盒疊在一起，疊成一個(gè)長為9厘米、寬為6厘米、高為40厘米的長方體，表面積為(9×6 + 9×40 + 6×40)×2 = 1308(平方厘米)。
【提示】將幾個(gè)完全一樣的長方體拼成一個(gè)更大的長方體，要想表面積最小，必須盡可能將大的面積拼接在一起。在設(shè)計(jì)時(shí)，既要考慮到節(jié)省材料，又要考慮到美觀實(shí)用，因此設(shè)計(jì)一個(gè)長為9厘米、寬為12厘米、高為20厘米的長方體紙箱比較合理。
例3 一個(gè)長方體容器,從里面量,底面是一個(gè)邊長為60厘米的正方形,容器里直立著一根高1米的長方體鐵棒,其底面是邊長為15厘米的正方形,這時(shí)容器里的水深50厘米(如圖1)?，F(xiàn)在把鐵棒輕輕地向上提起24厘米(如圖2),露出水面的鐵棒上被水浸濕的部分長多少厘米？
答案：解析：本題考查長方體體積的計(jì)算。
提起那部分鐵棒的體積：
$V = 15 × 15 × 24 = 5400$ （立方厘米），
容器的底面積減去鐵棒的底面積：
$S = 60 × 60 - 15 × 15 = 3600 - 225 = 3375$ （平方厘米），
水面下降的高度：
$h = \frac{V}{S} = \frac{5400}{3375} = 1.6$ （厘米），
露出水面的鐵棒上被水浸濕的部分長度：
$24 + 1.6 = 25.6$ （厘米）。
答案：25.6厘米。
