例2 某商店購(gòu)進(jìn)一批玩具小兔和玩具小狗,共80只,已賣出玩具小兔只數(shù)的20%和玩具小狗只數(shù)的$\frac{2}{3}$,共賣出30只。商店購(gòu)進(jìn)玩具小兔和玩具小狗各多少只?
思路分析
設(shè)玩具小狗有$x$只,則玩具小兔有$(80 - x)$只。其等量關(guān)系為：玩具小兔的只數(shù)$×20\%+玩具小狗的只數(shù)×\frac{2}{3}= 30$只。
解答：設(shè)商店購(gòu)進(jìn)玩具小狗$x$只,則購(gòu)進(jìn)玩具小兔$(80 - x)$只。
$(80 - x)×20\%+\frac{2}{3}x= 30$
$x= 30$
$80 - x= 80 - 30= 50$
答：商店購(gòu)進(jìn)玩具小兔50只,玩具小狗30只。
歸納點(diǎn)撥
解決問題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系,列出方程。
答案：解析：本題考查百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)已知條件找出等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程求解。
設(shè)商店購(gòu)進(jìn)玩具小狗$x$只，因?yàn)橥婢咝⊥煤屯婢咝」饭?80$只，所以購(gòu)進(jìn)玩具小兔$(80 - x)$只。
已知賣出玩具小兔只數(shù)的$20\%$和玩具小狗只數(shù)的$\frac{2}{3}$，共賣出$30$只，可據(jù)此列出方程：
$(80 - x)×20\%+\frac{2}{3}x = 30$
接下來解方程：
$(80 - x)×0.2+\frac{2}{3}x = 30$
$16 - 0.2x+\frac{2}{3}x = 30$
$- 0.2x+\frac{2}{3}x = 30 - 16$
$(- \frac{1}{5}+\frac{2}{3})x = 14$
$(\frac{-3 + 10}{15})x = 14$
$\frac{7}{15}x = 14$
$x = 14÷\frac{7}{15}$
$x = 30$
則玩具小兔的數(shù)量為：$80 - x = 80 - 30 = 50$（只）
答案：商店購(gòu)進(jìn)玩具小兔$50$只，玩具小狗$30$只。
3. 甲、乙兩班共有學(xué)生84人,甲班人數(shù)的$\frac{5}{8}和乙班人數(shù)的\frac{3}{4}$共56人。甲、乙兩班各有多少人?
答案：設(shè)甲班有x人,則乙班有$(84-x)$人。
$\frac{5}{8}x+(84-x)×\frac{3}{4}=56$ $x=56$
$84-x=84-56=28$
[提示]設(shè)甲班有x人,則乙班有$(84-x)$人,根據(jù)“甲班人數(shù)$×\frac{5}{8}+$乙班人數(shù)$×\frac{3}{4}=56$人”列方程解答即可。
例3 一件商品的進(jìn)價(jià)加上50元的利潤(rùn)是定價(jià),促銷活動(dòng)期間,一位顧客按八折購(gòu)買了這件商品,商家賺了30元。這件商品的進(jìn)價(jià)是多少元?
思路分析
這件商品原本的利潤(rùn)是50元,打八折賣出后獲得的利潤(rùn)是30元,因?yàn)闇p少了定價(jià)的$(1 - 80\%)導(dǎo)致利潤(rùn)減少了50 - 30 = 20$(元),那么定價(jià)是$20÷(1 - 80\%) = 100$(元),則進(jìn)價(jià)是$100 - 50 = 50$(元)。
解答：$(50 - 30)÷(1 - 80\%) - 50 = 50$(元)
答：這件商品的進(jìn)價(jià)是50元。
歸納點(diǎn)撥
在經(jīng)濟(jì)問題中,整個(gè)售賣過程會(huì)涉及這幾個(gè)量：進(jìn)價(jià)(成本)、利潤(rùn)(盈利)、利潤(rùn)率、定價(jià)、折扣、實(shí)際售價(jià),要抓住幾個(gè)量之間的關(guān)系,綜合應(yīng)用解決問題。
答案：設(shè)這件商品的進(jìn)價(jià)為$x$元。
根據(jù)題意，定價(jià)是進(jìn)價(jià)加上50元的利潤(rùn)，即$x + 50$元。
顧客按八折購(gòu)買，所以實(shí)際售價(jià)是定價(jià)的$80\%$，即$0.8(x + 50)$元。
商家賺了30元，即實(shí)際售價(jià)等于進(jìn)價(jià)加30元，可以列出方程：
$0.8(x + 50) = x + 30$，
展開方程得：
$0.8x + 40 = x + 30$，
移項(xiàng)并化簡(jiǎn)得：
$0.2x = 10$，
解得：
$x = 50$。
答：這件商品的進(jìn)價(jià)是50元。
4. 王阿姨的小賣部新進(jìn)了一批圖書,準(zhǔn)備每本加上10元的利潤(rùn)來定價(jià),賣了一段時(shí)間后,還剩最后一本按照五折售賣,最終這本圖書虧損5元。每本書的進(jìn)價(jià)是多少元?
答案：$(10+5)÷(1-50\%)-10=20$(元)
【提示】這件商品原本的利潤(rùn)是10元,打五折賣出后原本的10元利潤(rùn)無法獲得還要虧損5元,因?yàn)闇p少了定價(jià)的$(1-50\%)$,所以導(dǎo)致利潤(rùn)減少了$10+5=15$(元),那么定價(jià)是$15÷(1-50\%)=30$(元),進(jìn)價(jià)是$30-10=20$(元)。
例 一輛汽車從甲地開往乙地,如果把車速提高20%,那么會(huì)比原來提早1小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120千米后,再將速度提高25%,那么可以提前40分鐘到達(dá)。甲、乙兩地相距多少千米?
思路分析
根據(jù)題意可知,車速提高20%后,速度是原來的$1 + 20\%= \frac{6}{5}$,所用時(shí)間是原來的$\frac{5}{6}$,節(jié)省了$1-\frac{5}{6}= \frac{1}{6}$,即1小時(shí),所以用原速度行駛完全程需要$1÷\frac{1}{6}= 6$(小時(shí))。
行駛120千米后,只看后面部分：將速度提高25%,速度是原來的$1 + 25\%= \frac{5}{4}$,時(shí)間是原來的$\frac{4}{5}$,節(jié)省了$1-\frac{4}{5}= \frac{1}{5}$,是40分鐘,即$\frac{2}{3}$小時(shí),所以用原速度行駛完路程的后面部分需要$\frac{2}{3}÷\frac{1}{5}= \frac{10}{3}$(小時(shí))。
用原速度行駛完全程需要6小時(shí),后面部分需要$\frac{10}{3}$小時(shí),則前面的120千米用了$6-\frac{10}{3}= \frac{8}{3}$(小時(shí)),這樣就可以求出原來每小時(shí)行$120÷\frac{8}{3}= 45$(千米)。
甲、乙兩地之間的距離是$45×6 = 270$(千米)。
解答：$1 + 20\%= \frac{6}{5}$ $1÷\frac{6}{5}= \frac{5}{6}$
$1-\frac{5}{6}= \frac{1}{6}$ $1÷\frac{1}{6}= 6$(小時(shí))
$1 + 25\%= \frac{5}{4}$ $1÷\frac{5}{4}= \frac{4}{5}$ $1-\frac{4}{5}= \frac{1}{5}$
40分$=\frac{2}{3}$時(shí) $\frac{2}{3}÷\frac{1}{5}= \frac{10}{3}$(小時(shí))
$120÷(6-\frac{10}{3})×6 = 270$(千米)
答：甲、乙兩地相距270千米。
歸納點(diǎn)撥
解決稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)問題時(shí),可以先從題目中找出不變的量,將其作為單位“1”,再將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,找出所求數(shù)量相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾,并列式解答。
答案：解析：本題考查的是百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用。
設(shè)原車速為 $v$ 千米/小時(shí)，甲乙兩地的距離為 $d$ 千米。
根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，
當(dāng)車速提高$20\%$時(shí)，所用時(shí)間是原來的 $\frac{5}{6}$，節(jié)省了 $1-\frac{5}{6}= \frac{1}{6}$，即1小時(shí)。
所以，用原速度行駛完全程需要 $1÷\frac{1}{6}= 6$(小時(shí))。
即$\frach8xf99z8w{v} - \frach8xf99z8w{1.2v} = 1$，
化簡(jiǎn)得：$\frach8xf99z8w{6v} = 1$，
即 $d = 6v$。
當(dāng)車以原速行駛120千米后，再將速度提高$25\%$，所用時(shí)間是原來的 $\frac{4}{5}$，節(jié)省了 $1-\frac{4}{5}= \frac{1}{5}$，是40分鐘，即 $\frac{2}{3}$ 小時(shí)。
所以，用原速度行駛完路程的后面部分需要 $\frac{2}{3}÷\frac{1}{5}= \frac{10}{3}$(小時(shí))。
即$\frac{d-120}{v} - \frac{d-120}{1.25v} = \frac{2}{3}$，
化簡(jiǎn)得：$\frac{d-120}{5v} = \frac{2}{3}$，
即 $d-120 = \frac{10}{3}v$。
接下來，解這個(gè)方程組：
$\begin{cases}d = 6v,\\d-120 = \frac{10}{3}v.\end{cases}$
將第一個(gè)方程代入第二個(gè)方程，得：
$6v-120 = \frac{10}{3}v$，
移項(xiàng)并化簡(jiǎn)，得：
$\frac{8}{3}v = 120$，
解得：$v = 45$。
將 $v = 45$ 代入 $d = 6v$，得：
$d = 6 × 45 = 270$。
所以，甲、乙兩地相距 270 千米。
