例(教材P106)學校田徑隊女生人數(shù)原來占$\frac{1}{3}$,后來有6名女生加入,這樣女生人數(shù)就占田徑隊總?cè)藬?shù)的$\frac{4}{9}$?，F(xiàn)在田徑隊有女生多少人?
思路分析
題中的兩個分數(shù)的單位“1”指的都是田徑隊的總?cè)藬?shù),但是這兩個單位“1”代表的具體人數(shù)是不相同的,因為中途加入了女生,所以田徑隊前后的總?cè)藬?shù)發(fā)生了變化。解答這道題的關(guān)鍵是尋找題中沒有發(fā)生變化的量,即男生人數(shù)。我們可以把前、后兩次的女生人數(shù)與田徑隊總?cè)藬?shù)的比率關(guān)系轉(zhuǎn)化為女生人數(shù)與男生人數(shù)的比率關(guān)系。原來的女生人數(shù)是男生人數(shù)的$1÷(3 - 1)= \frac{1}{2}$,現(xiàn)在的女生人數(shù)是男生人數(shù)的$4÷(9 - 4)= \frac{4}{5}$,再根據(jù)前、后兩次女生人數(shù)相差6人來列方程解答。
解答：$1÷(3 - 1)= \frac{1}{2}$ $4÷(9 - 4)= \frac{4}{5}$
設(shè)田徑隊有男生$x$人。
$\frac{4}{5}x-\frac{1}{2}x= 6$
$\frac{3}{10}x= 6$
$x= 20$
$20×\frac{4}{5}= 16$(人)
答：現(xiàn)在田徑隊有女生16人。
歸納點撥
解決單位“1”的量不一樣的問題,我們要想辦法轉(zhuǎn)化成單位“1”統(tǒng)一的情況,也就是要抓住題中的不變量解決問題。
答案：解析
本題主要考查單位“1”的轉(zhuǎn)化以及利用方程解決實際問題。解題的關(guān)鍵在于找到題目中的不變量，即男生人數(shù)，通過將女生人數(shù)與田徑隊總?cè)藬?shù)的比率關(guān)系轉(zhuǎn)化為女生人數(shù)與男生人數(shù)的比率關(guān)系，再根據(jù)女生人數(shù)的變化列出方程求解。
解答
設(shè)田徑隊有男生$x$人。
原來女生人數(shù)是男生人數(shù)的$1÷(3 - 1)=\frac{1}{2}$，現(xiàn)在女生人數(shù)是男生人數(shù)的$4÷(9 - 4)=\frac{4}{5}$。
因為后來加入$6$名女生，所以可列方程：
$\frac{4}{5}x-\frac{1}{2}x = 6$
通分可得：$\frac{8}{10}x-\frac{5}{10}x = 6$
即$\frac{3}{10}x = 6$
兩邊同時除以$\frac{3}{10}$，$x = 6÷\frac{3}{10}=6×\frac{10}{3}=20$
現(xiàn)在女生人數(shù)為$20×\frac{4}{5}=16$（人）
答：現(xiàn)在田徑隊有女生$16$人。
1. 袋子里有若干個球,其中紅球占$\frac{2}{5}$,后來又往袋子里放了8個紅球,這時紅球占總數(shù)的$\frac{4}{9}$。原來袋子里有多少個紅球?
答案：$8÷\left(\frac{4}{9-4}-\frac{2}{5-2}\right)=60$(個)
$60×\frac{2}{5-2}=40$(個)
[提示]袋子里其他顏色的球的個數(shù)不變,把其他顏色的球的個數(shù)看作單位“1”。原來袋子里紅球的個數(shù)占其他顏色的球的個數(shù)的$\frac{2}{5-2}$,往袋子里放了8個紅球后,現(xiàn)在袋子里紅球的個數(shù)占其他顏色的球的個數(shù)的$\frac{4}{9-4}$,所以8個紅球占其他顏色的球的個數(shù)的$\left(\frac{4}{9-4}-\frac{2}{5-2}\right)$。先求出其他顏色的球的個數(shù),再求出原來袋子里紅球的個數(shù)。
2. 一個盒子里有黑、白兩種棋子,其中白棋子的枚數(shù)占總數(shù)的$\frac{3}{5}$,如果往盒子里加入30枚白棋子,那么現(xiàn)在白棋子的枚數(shù)占總數(shù)的$\frac{3}{4}$。這個盒子里原來有多少枚棋子?
答案：$30÷\left(\frac{3}{4-3}-\frac{3}{5-3}\right)=20$(枚)
$20÷\left(1-\frac{3}{5}\right)=50$(枚)
[提示]白棋子的枚數(shù)及兩種棋子的總枚數(shù)都增加了,但黑棋子的枚數(shù)不變,抓住這個不變量解題。把黑棋子的枚數(shù)看作單位“1”,最初白棋子的數(shù)量是黑棋子的$\frac{3}{5-3}$;增加30枚白棋子后,白棋子的枚數(shù)是黑棋子的$\frac{3}{4-3}$,則30枚白棋子占黑棋子枚數(shù)的$\left(\frac{3}{4-3}-\frac{3}{5-3}\right)$,由此求出黑棋子的數(shù)量。
3. 希望小學六(1)班男生人數(shù)是全班學生總數(shù)的60%,新學期又轉(zhuǎn)來12名女生后,班里男生人數(shù)占全班學生總數(shù)的$\frac{3}{7}$。希望小學六(1)班有多少名男生?
答案：設(shè)希望小學六(1)班原有x名學生。
$60\%x=(x+12)×\frac{3}{7}$ $x=30$
$30×60\%=18$(名)
[提示]設(shè)希望小學六(1)班原有x名學生,則現(xiàn)在有$(x+12)$名學生,則男生有$60\%x$名或$\frac{3}{7}(x+12)$名,根據(jù)男生人數(shù)不變列方程解答。
