例1加工一批零件,甲、乙兩人共同加工需要12天完成。如果讓甲先加工8天,剩下的零件由乙單獨(dú)加工,那么還需要14天。乙單獨(dú)加工這批零件需要多少天完成?
思路分析
根據(jù)“甲、乙兩人共同加工需要12天完成”可知,甲、乙兩人每天共加工這批零件的$\frac {1}{12}$。我們可以把條件“如果讓甲先加工8天,剩下的零件由乙單獨(dú)加工,那么還需要14天”變換成“甲、乙共同加工8天,乙再單獨(dú)加工(14-8)天完成”,這樣可以求出甲、乙共同加工8天后,還剩下這批零件的$1-\frac {1}{12}×8= \frac {1}{3}$;然后求出乙每天加工這批零件的$\frac {1}{3}÷(14-8)= \frac {1}{18}$;最后求出乙單獨(dú)加工這批零件需要的天數(shù)。
解答:$1÷[(1-\frac {1}{12}×8)÷(14-8)]= 18$(天)
答:乙單獨(dú)加工這批零件需要18天完成。
歸納點(diǎn)撥
通過變換條件的表達(dá)形式,將題目中的條件進(jìn)行重組,使題目中的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單,從而順利地解題。
答案：甲、乙兩人每天共加工這批零件的$\frac{1}{12}$。
甲先加工8天，乙再單獨(dú)加工14天，可看作甲、乙共同加工8天，乙再單獨(dú)加工$14 - 8 = 6$天。
甲、乙共同加工8天完成的工作量為：$\frac{1}{12}×8 = \frac{2}{3}$
剩余工作量為：$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
乙6天完成$\frac{1}{3}$，則乙每天加工：$\frac{1}{3}÷6 = \frac{1}{18}$
乙單獨(dú)加工需要的天數(shù)：$1÷\frac{1}{18} = 18$（天）
答：乙單獨(dú)加工這批零件需要18天完成。
1. 加工一批零件,甲車間單獨(dú)加工要10天完成,乙車間單獨(dú)加工要15天完成。甲、乙兩個(gè)車間共同加工3天后,剩下的由甲車間單獨(dú)加工,甲車間還要幾天才能完成?
答案：$[1-(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×3]÷\frac{1}{10}=5$(天)
[提示]解答本題要掌握工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系，關(guān)鍵是把工作量看作單位“1”。
2. 修一條公路,甲、乙兩隊(duì)合修36天完成。如果甲隊(duì)單獨(dú)修20天后,乙隊(duì)加入合修,兩隊(duì)合修17天后,甲隊(duì)因事離去,由乙隊(duì)單獨(dú)繼續(xù)修了16天才完成。這條公路若由甲隊(duì)單獨(dú)修,則需要多少天?
答案：$[1-\frac{1}{36}×(17+16)]÷(20 - 16)=\frac{1}{48}$
$1÷\frac{1}{48}=48$(天)
[提示]將已知條件變換為兩隊(duì)合修$17 + 16 = 33$ (天)后，甲隊(duì)還要修$(20 - 16)$天才能完成，這樣甲、乙兩隊(duì)一共修了全長(zhǎng)的$\frac{1}{36}×(17+16)=\frac{11}{12}$，剩下全長(zhǎng)的$(1-\frac{11}{12})$由甲隊(duì)$(20 - 16)$天完成，甲隊(duì)每天修全長(zhǎng)的$(1-\frac{11}{12})÷(20 - 16)=\frac{1}{48}$，因此甲隊(duì)單獨(dú)修需要$1÷\frac{1}{48}=48$ (天)才能完成。
例2六(1)班喜歡羽毛球的男生和喜歡羽毛球的女生共21人,去掉$\frac {1}{3}$的男生后,剩下的男生比女生少1人。原來喜歡羽毛球的男生和喜歡羽毛球的女生各有多少人?
思路分析
假設(shè)喜歡羽毛球的女生減少1人,就和剩余的喜歡羽毛球的男生一樣多,即此時(shí)喜歡羽毛球的女生的人數(shù)是喜歡羽毛球的男生人數(shù)的$1-\frac {1}{3}= \frac {2}{3}$,則總?cè)藬?shù)$-1= 喜歡羽毛球的男生人數(shù)+\frac {2}{3}×$喜歡羽毛球的男生人數(shù),利用解“和倍問題”的方法就可以解決問題。
解答:男生:$(21-1)÷(1+\frac {2}{3})= 12$(人)
女生:$21-12= 9$(人)
答:原來喜歡羽毛球的男生有12人,喜歡羽毛球的女生有9人。
歸納點(diǎn)撥
用假設(shè)思想解題時(shí)常用的方法如下:
(1)根據(jù)題目條件假設(shè),使原來不易產(chǎn)生對(duì)應(yīng)關(guān)系的量和分率產(chǎn)生對(duì)應(yīng)關(guān)系;(2)把不同的分率假設(shè)為相同的分率,再分析產(chǎn)生差異的原因;(3)將兩個(gè)量之間變化了的倍分關(guān)系假設(shè)為不變來解答;(4)把某些未知量假設(shè)為已知量,以建立數(shù)量之間的聯(lián)系。
答案：解析：本題考查的是分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的應(yīng)用——和倍問題。
設(shè)喜歡羽毛球的男生人數(shù)為 $x$ 人，女生人數(shù)為 $y$ 人。
根據(jù)題目描述，可以建立以下方程：
$x + y = 21$ （男生和女生總?cè)藬?shù)為21人）
去掉 $\frac{1}{3}$ 的男生后，剩下的男生人數(shù)為 $\frac{2}{3}x$，并且這個(gè)數(shù)比女生少1人，即：
$\frac{2}{3}x = y - 1$。
接下來，解這個(gè)方程組。
將第二個(gè)方程代入第一個(gè)方程中，得：
$x + (\frac{2}{3}x + 1) = 21$，
化簡(jiǎn)得：
$\frac{5}{3}x + 1 = 21$，
進(jìn)一步解得：
$x = 12$，
將 $x = 12$ 代入第一個(gè)方程 $x + y = 21$，解得：
$y = 9$，
答：原來喜歡羽毛球的男生有 12 人，喜歡羽毛球的女生有 9 人。
