1. 計算下面各題。
(1)$(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5})×(\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6})-(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6})×(\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5})$
(2)$(1+\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021})×(\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021}+\frac {1}{2022})-(1+\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021}+\frac {1}{2022})×(\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021})$
答案：1. (1)設$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，$B=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$。
$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})×(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})$
$=(\frac{1}{2}+A)×B-(\frac{1}{2}+B)×A$
$=\frac{1}{2}B+AB-\frac{1}{2}A-AB$
$=\frac{1}{2}(B - A)$
$=\frac{1}{2}[\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})]$
$=\frac{1}{2}×\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{12}$
[提示]觀察題目中各式的特點，利用整體替換的方法，設$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，$B=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$，據此方便計算。
(2)設$A=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}$，$B=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022}$。
$(1+\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021})×(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022})-(1+\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022})×(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021})$
$=(1+A)×B-(1+B)×A$
$=B+AB - A - AB$
$=B - A$
$=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022}-(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021})$
$=\frac{1}{2022}$
[提示]觀察題目中各式的特點，利用整體替換的方法，設$A=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}$，$B=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022}$，據此方便計算。
例2紅星小學六年級有3個班,六(1)班、六(2)班共有學生75人,六(2)班、六(3)班共有學生81人。已知六(2)班學生占全年級的$\frac {3}{10}$,則該校六年級共有學生多少人?
答案：思路分析
由“六(2)班學生占全年級的$\frac {3}{10}$”可知,是把全年級學生人數看作單位“1”;用75人加上81人,就得到全年級人數與六(2)班人數的和,而全年級的人數是單位“1”,六(2)班人數的分率是全年級的$\frac {3}{10},(1+\frac {3}{10})$就正好與人數的和相對應,從而可以求出全年級的人數。
解答:$(75+81)÷(1+\frac {3}{10})= 120$(人)
答:該校六年級共有學生120人。
歸納點撥
已知比一個數多幾分之幾的數是多少,求這個數,解答關鍵是找單位“1”(是未知的)。
2. 甲數占乙、丙兩個數和的$\frac {2}{7}$,丙數占甲、乙兩個數和的$\frac {4}{5}$。已知乙數是120,則甲、乙、丙三個數的和是多少?
答案：$120÷(1-\frac{2}{7+2}-\frac{4}{5+4})=360$
[提示]甲數占甲、乙、丙三個數和的$\frac{2}{7+2}=\frac{2}{9}$，丙數占甲、乙、丙三個數和的$\frac{4}{5+4}=\frac{4}{9}$，從而可以求出乙數占甲、乙、丙三個數和的$1-\frac{2}{9}-\frac{4}{9}=\frac{1}{3}$。
3. 甲、乙、丙三人共同加工一批零件,甲加工的是乙、丙所加工總數的$\frac {1}{4}$,乙加工的是甲、丙所加工總數的$\frac {1}{3}$,丙加工了220個。這批零件一共有多少個?
答案：$220÷(1-\frac{1}{1+4}-\frac{1}{1+3})=400$(個)
[提示]甲加工的零件個數是總數的$\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$，乙加工的零件個數是總數的$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$，從而可以求出丙加工的零件個數是總數的$1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}=\frac{11}{20}$。
