名師講壇
例 一個容積為400毫升的杯子里裝滿了純牛奶,第一次喝了一半純牛奶加滿水,第二次再喝一半加滿水,第三次又喝一半加滿水,這時杯子里還有多少毫升純牛奶？(每次加滿水后均攪勻)
答案：解析：本題主要考查分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)用。
根據(jù)題意，每次喝掉一半的純牛奶后加滿水，純牛奶的量就減少一半。
第一次喝了一半純牛奶后，純牛奶剩余：
$400 × (1 - \frac{1}{2}) = 200 \text{(毫升)}$，
第二次再喝一半，純牛奶剩余：
$200 × (1 - \frac{1}{2}) = 100 \text{(毫升)}$，
第三次又喝一半，純牛奶剩余：
$100 × (1 - \frac{1}{2}) = 50 \text{(毫升)}$，
所以，經(jīng)過三次喝掉一半并加滿水后，杯子里剩余的純牛奶量為50毫升。
答案：50毫升。
1. 一滿杯牛奶共1000毫升,小明第一次喝了半杯,然后加滿咖啡,第二次喝了這杯的$\frac{1}{3}$,再加滿咖啡,第三次又喝了這杯的$\frac{1}{4}$,再加滿咖啡,這時杯內(nèi)還有多少毫升牛奶？(每次加滿咖啡后均攪勻)
答案：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$
$1000×\frac{1}{4}=250$(毫升)
[提示]將全部牛奶看作單位“1”，第一次喝了半杯，即$\frac{1}{2}$，則杯中還剩下全部牛奶的$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，由于這一過程中牛奶的量沒有增加，加滿咖啡后，第二次喝了這杯的$\frac{1}{3}$，即又喝了全部牛奶的$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，同理第三次喝了全部牛奶的$(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6})×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，則此時杯中還剩下全部牛奶的$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$，由此就能根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義求出杯中還有多少牛奶。
2. 有一堆桃共120個,先將這堆桃的$\frac{1}{12}$分給小猴子們,第二天又將剩下桃的$\frac{1}{11}$分給小猴子們,第三天分了余下桃的$\frac{1}{10}$,第四天分了余下桃的$\frac{1}{9}$。此時這堆桃還有多少個？
答案：$120×(1-\frac{1}{12})×(1-\frac{1}{11})×(1-\frac{1}{10})×(1-\frac{1}{9})=80$(個)
[提示]這堆桃原有120個，分給小猴子們$\frac{1}{12}$后，剩余$[120×(1-\frac{1}{12})]$個；第二天分了余下的$\frac{1}{11}$，則剩余$[120×(1-\frac{1}{12})×(1-\frac{1}{11})]$個，同理可得第三天和第四天余下的量。
3. 將2022先減去它的$\frac{1}{2}$,再減去余下的$\frac{1}{3}$,又減去余下的$\frac{1}{4}$,后面每次分別減去余下的$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{6}$……以此類推,直到減去余下的$\frac{1}{2022}$,最后的結(jié)果是多少？
答案：$2022×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{5})×…×(1-\frac{1}{2022})$
$=2022×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×…×\frac{2021}{2022}$
$=2022×\frac{1}{2022}$
$=1$
[提示]本題考查的知識點是用類推法來解答連續(xù)剩余問題。從2022先減去它的$\frac{1}{2}$開始分析，還剩下$2022×(1-\frac{1}{2})$，再減去余下的$\frac{1}{3}$，還剩下余下的$(1-\frac{1}{3})$，即還剩下$2022×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})$……以此類推，直到減去余下的$\frac{1}{2022}$，最后剩下的是$2022×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{2022})$，然后找規(guī)律計算出結(jié)果即可。
