例 如圖,在一個棱長為10厘米的正方體的上面、右面、前面的中心位置分別挖一個開口為邊長4厘米的正方形小孔,直至對面,做成一個模型。求這個模型的體積和表面積。
解析
模型的體積等于正方體的體積減去挖去部分的體積。模型的表面積是原來正方體的表面積減去六個邊長為4厘米的正方形的面積,再加上三個高為(10-4)厘米、長和寬都是4厘米的長方體的側(cè)面積。
答案:
體積:$10×10×10-4×4×10×3+4×4×4×2= 648$(立方厘米)
表面積:$10×10×6-4×4×6+4×(10-4)×4×3= 792$(平方厘米)
答:這個模型的體積是648立方厘米,表面積是792平方厘米。
答案：解析：
模型的體積等于正方體的體積減去挖去部分的體積，而挖去部分的體積等于三個小長方體的體積減去重疊部分（兩個小正方體）的體積。
模型的表面積是原來正方體的表面積減去六個邊長為4厘米的正方形的面積，再加上三個高為$(10-4)$厘米、長和寬都是4厘米的長方體的側(cè)面積。
答案：
體積：
$10×10×10 - [4×4×(10+10-4)+4×4×4×2]=648$（立方厘米），
表面積：
$10×10×6 - 4×4×6 + 4×(10 - 4)×4×3 =792$（平方厘米），
答：這個模型的體積是648立方厘米，表面積是792平方厘米。
1. 在一個棱長為6cm的正方體的上面正中間挖去一個棱長為2cm的小正方體(如圖所示)。求所得立體圖形的表面積。
答案：解析：本題考查正方體的表面積。
大正方體的棱長為$6cm$，小正方體的棱長為$2cm$。
大正方體的一個面的面積為$6 × 6 = 36({cm}^{2})$。
大正方體的表面積為$6 × 36 = 216({cm}^{2})$。
小正方體一個面的面積為$2 × 2 = 4({cm}^{2})$。
小正方體有4個面暴露在外（上面、前面、后面、左面、右面中的四個），
所以新增的表面積為$4 × 4 = 16({cm}^{2})$，
但是小正方體的底面（即與大正方體接觸的那個面）不計入總表面積，
因為它在大正方體內(nèi)部。
所得立體圖形的表面積為大正方體的表面積加上小正方體新增的表面積，
即$216 + 16 = 232({cm}^{2})$。
答案：$232{cm}^{2}$。
2. 在一個長、寬、高分別是8厘米、6厘米、5厘米的長方體的8個頂點處,分別截下一個棱長為1厘米的小正方體后,剩下立體圖形的表面積是多少平方厘米? 體積是多少立方厘米?
答案：表面積：
原長方體表面積：$(8×6 + 8×5 + 6×5)×2 = (48 + 40 + 30)×2 = 118×2 = 236$（平方厘米）
截去小正方體后表面積不變，仍為236平方厘米。
體積：
原長方體體積：$8×6×5 = 240$（立方厘米）
截去小正方體總體積：$1×1×1×8 = 8$（立方厘米）
剩下立體圖形體積：$240 - 8 = 232$（立方厘米）
答：剩下立體圖形的表面積是236平方厘米，體積是232立方厘米。
3. 有一個棱長為4cm的正方體,從它的右上方截去一個長、寬、高分別為4cm、2cm、1cm的長方體(如圖),求剩下部分的表面積。
答案：原正方體表面積：$4×4×6 = 96$（$cm^2$）
截去長方體后，減少的表面積：$2×1×2 = 4$（$cm^2$）
剩下部分表面積：$96 - 4 = 92$（$cm^2$）
答：剩下部分的表面積是$92cm^2$。
4. 一塊棱長為6厘米的正方體木料,如果在前面、上面、右面的中心各向后挖一個口為邊長2厘米的正方形孔,直至對面,那么剩余木料的體積是多少?
答案：【提示】可以先計算三條孔道的體積，因為三條孔道相交的地方是一個正方體，且這個正方體總共被計算了3次，實際只計算1次就可以，因此三條孔道的實際總體積為三條孔道的體積減去2個正方體的體積；然后用原來正方體的體積減去三條孔道的實際總體積即可。
解析：
原來正方體體積：$6×6×6 = 216$（立方厘米）
每條孔道體積：$2×2×6 = 24$（立方厘米），三條孔道體積：$3×24 = 72$（立方厘米）
相交部分為棱長2厘米的正方體，多算次數(shù)：$3 - 1 = 2$次，相交部分多算體積：$2×(2×2×2)=16$（立方厘米）
孔道實際總體積：$72 - 16 = 56$（立方厘米）
剩余木料體積：$216 - 56 = 160$（立方厘米）
答：剩余木料的體積是160立方厘米。
