例2 觀察下面長方形疊放的規(guī)律,用含有字母的式子表示各個圖形的周長。
按照這樣的方法疊放,第100個圖形的周長是
200(x + y)
。
答案：解析：第一個圖形是一個長方形，長為$y$，寬為$x$，周長公式為$2×(長+寬)$，即$2(x + y)$；
第二個圖形是由兩個長方形疊放組成，疊放后形成一個長為$2y$，寬為$2x$的大長方形，其周長為$2×(2y + 2x)=4(x + y)$；
第三個圖形是由三個長方形疊放組成，疊放后形成一個長為$3y$，寬為$3x$的大長方形，其周長為$2×(3y + 3x)=6(x + y)$；
第四個圖形是由四個長方形疊放組成，疊放后形成一個長為$4y$，寬為$4x$的大長方形，其周長為$2×(4y + 4x)=8(x + y)$。
以此類推，第$n$個圖形是由$n$個長方形疊放組成，疊放后形成一個長為$ny$，寬為$nx$的大長方形，其周長為$2×(ny + nx)=2n(x + y)$。
當$n = 100$時，第$100$個圖形的周長為$2×100(x + y)=200(x + y)$。
答案：$4(x + y)$；$6(x + y)$；$8(x + y)$；第$100$個圖形的周長是$200(x + y)$。
2. 把若干張長2厘米、寬1厘米的長方形紙片按照下圖所示的方式一層層地擺起來。
擺1層,周長是(
6
)厘米；擺2層,周長是(
12
)厘米；擺3層,周長是(
18
)厘米。
像這樣繼續(xù)擺下去,擺$n$層,周長是多少厘米？擺2023層,周長是多少厘米？
擺n層,周長是$(2×n+1×n)×2=6n$(厘米)。當$n=2023$時,$6n=6×2023=12138$。
答案：6 12 18
擺n層,周長是$(2×n+1×n)×2=6n$(厘米)。當$n=2023$時,$6n=6×2023=12138$。
【提示】分別算出前3個圖形的周長,再推出第n個圖形的周長。有n個,長就是2n,寬就是n,第n個圖形的周長是$(2n+n)×2=6n$;擺2023層,周長是$6×2023=12138$。
例3 如下圖,有一個等邊三角形,第1次把它分成4個完全相同的小等邊三角形,第2次把其中一個小等邊三角形繼續(xù)分成4個更小且完全相同的等邊三角形……照這樣分下去,第$n$次分完后,三角形共有(
1 + 4n
)個。
答案：解析：本題可通過分析每次分割后三角形個數(shù)的變化規(guī)律，進而得出第$n$次分完后三角形的總數(shù)。
步驟一：分析每次分割后三角形個數(shù)的變化情況
原來有$1$個等邊三角形。
第$1$次分割：把$1$個等邊三角形分成$4$個完全相同的小等邊三角形，此時三角形的總數(shù)為$1 + 4= 5$個。
第$2$次分割：把其中$1$個小等邊三角形繼續(xù)分成$4$個更小且完全相同的等邊三角形，相當于在原來$5$個三角形的基礎上又增加了$4$個，此時三角形的總數(shù)為$1 + 4 + 4 = 1+4×2 = 9$個。
第$3$次分割：再把其中$1$個小等邊三角形分成$4$個更小且完全相同的等邊三角形，又增加了$4$個，此時三角形的總數(shù)為$1 + 4 + 4 + 4 = 1+4×3 = 13$個。
步驟二：找出規(guī)律并得出第$n$次分完后三角形的總數(shù)
通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，每分一次就增加$4$個三角形，分$n$次就增加$4n$個三角形，再加上原來的$1$個三角形，所以第$n$次分完后，三角形的總數(shù)為$(1 + 4n)$個。
答案：$1 + 4n$。
3. 觀察下列圖形,它是把一個三角形分別連接這個三角形三邊的中點,構(gòu)成4個小三角形,挖去中間的一個小三角形(如圖1)；對剩下的三個小三角形再分別重復以上做法……將這種做法繼續(xù)下去(如圖2,圖3……),則圖6中挖去多少個三角形？
答案：364個 【提示】圖1挖去中間的1個小三角形,圖2挖去中間的$(1+3)$個小三角形,圖3挖去中間的$(1+3+3^{2})$個小三角形,則圖6挖去中間的$(1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5})$個小三角形,即圖6挖去中間的364個小三角形。
解析：
圖1挖去中間的$1$個小三角形，圖2挖去中間的$(1+3)$個小三角形，圖3挖去中間的$(1+3+3^{2})$個小三角形，則圖6挖去中間的$(1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5})$個小三角形。
計算可得：$1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}=1+3+9+27+81+243=364$
364個
