2. A、B、C、D、E五名同學(xué)一起比賽象棋,每?jī)扇硕家荣愐槐P,到現(xiàn)在,A已經(jīng)賽了3盤,B已經(jīng)賽了2盤,C已經(jīng)賽了1盤,D已經(jīng)賽了4盤。這時(shí)E已經(jīng)賽了幾盤？
答案：2盤
[提示]五名同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，那么每人就要和其他4人下棋，最多下4盤。D已賽了4盤，所以D已經(jīng)和所有的人都下了一盤;C賽了1盤，是和D下的;A賽了3盤，他沒和C下，與其他的3人各下了一盤;B賽了2盤，他就和D、A各下了一盤，沒有和E下;所以和E下的只有D和A，即E下了2盤。也可以畫圖表示，如下:
例3 老師帶領(lǐng)五年級(jí)一班同學(xué)去劃船,每條大船可以坐6人,每條小船可以坐4人,每條船都不能有空位,師生共有46人。有幾種不同的租船方案？
答案：思路分析
本題既可以從租大船考慮,也可以從租小船考慮。若從租大船考慮,則從租0條大船到租1條、2條、3條、4條、5條、6條、7條、8條大船,可列表整理。
解答：根據(jù)題意可列表整理租船方案如表：
從表中可以看出,共有4種租船方案。
3. 42名同學(xué)準(zhǔn)備去公園春游,每輛面包車限載客6人,每輛小汽車限載客4人,不能有空位。有幾種不同的乘車方案？
答案：面包車/輛 7 5 3 1
小汽車/輛 0 3 6 9
有4種不同的乘車方案。
[提示]先列出表格，可以從乘面包車考慮，也可以從乘小汽車考慮，但要保證每輛車上都沒有空位且人全部要上車，據(jù)此可以得到答案。
例 一堆棋子共62枚,甲、乙兩人輪流拿棋子,誰拿到最后1枚誰就獲勝,每人每次只能拿1～4枚,不許不拿,甲先拿,乙后拿。請(qǐng)問誰有必勝的把握,他要采取何種策略？
答案：解析：這是一個(gè)Nim游戲的一個(gè)變體，在這個(gè)游戲中，必勝的策略是保持每次輪到對(duì)手拿的時(shí)候，剩余的棋子數(shù)是5的倍數(shù)加1。若一開始就是5的倍數(shù)加1，則先拿者敗。因?yàn)檫@個(gè)游戲限制了每次只能拿1～4枚棋子，如果對(duì)手拿n枚，你就可以拿$5-n$枚，這樣每次兩人一共拿走5枚，你就可以控制游戲的節(jié)奏。由于$62 \equiv 2 \pmod{5}$，所以甲一開始先拿走2枚，使得剩下的棋子數(shù)為5的倍數(shù)加1。（在本題中即為60枚，是5的倍數(shù)）接下來，無論乙拿走多少枚（1～4枚），甲都可以拿走一定數(shù)量的棋子，使得兩人一共拿走5枚。這樣，甲每次都能確保在每一輪結(jié)束后，剩余的棋子數(shù)仍然是5的倍數(shù)加1。隨著游戲的進(jìn)行，棋子數(shù)量逐漸減少，但甲始終能保持必勝狀態(tài)，直到最后。當(dāng)只剩下5枚棋子時(shí)，無論乙如何拿?。?～4枚），甲都可以在下一輪拿走剩余的棋子，從而獲勝。
答案：甲有必勝的把握。甲先拿2枚，乙如果拿1枚，甲就拿4枚；乙如果拿2枚，甲就拿3枚；乙如果拿3枚，甲就拿2枚；乙如果拿4枚，甲就拿1枚。即甲再拿時(shí)拿的枚數(shù)和乙拿的枚數(shù)加起來是5，那么甲一定取到最后1枚而獲勝。
桌子上有300根火柴,允許每人每次取1～6根,不能不取。甲先乙后輪流取火柴,誰取到最后1根火柴就算獲勝。誰能獲勝？怎樣取才能獲勝？
答案：甲能獲勝，甲可先拿6根，然后再拿時(shí)，與乙所拿火柴根數(shù)的和是7，才能獲勝。
[提示]因?yàn)?300÷(1 + 6) = 42$(組)……6(根)，所以甲要先拿6根火柴，然后再拿時(shí)，都要與乙所拿火柴根數(shù)的和是7，如此拿下去，甲將取到最后1根火柴而獲勝。
