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零五網(wǎng) › 全部參考答案› 啟東中學作業(yè)本 › 2025年啟東中學作業(yè)本八年級數(shù)學上冊人教版 第23頁解析答案
1. (2024·黑龍江二模)如圖,在邊長為2的等邊三角形ABC中,D是BC的中點,點E在線段AD上,連接BE,在BE的下方作等邊三角形BEF,連接DF,則△BDF周長的最小值為______。

答案：
$\sqrt{3}+1$ 點撥：$\because \triangle ABC$ 是等邊三角形，$D$ 是 $BC$ 的中點，$\therefore \angle BAD = 30^{\circ}, BD = \frac{1}{2}BC = 1$.
如答圖，作射線 $CF$.
第1題答圖
$\because \triangle ABC,\triangle BEF$ 都是等邊三角形，$\therefore AB = BC = AC, BE = EF = BF, \angle BAC = \angle ABC = \angle ACB = \angle EBF = \angle BEF = \angle BFE = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ABC - \angle EBD = \angle EBF - \angle EBD$，$\therefore \angle ABE = \angle CBF$，$\therefore \triangle BAE \cong \triangle BCF(SAS), \therefore \angle BCF = \angle BAD = 30^{\circ}$，$\therefore$ 射線 $CF$ 與 $CB$ 的夾角始終成 $30^{\circ}$.
如答圖，作點 $D$ 關于 $CF$ 的對稱點 $G$，連接 $CG,DG,FG,BG$，則 $FD = FG, CD = CG$，$\therefore \triangle BDF$ 的周長 $= FB + FD + BD = FB + FG + 1 \geqslant BG + 1$，$\therefore \triangle BDF$ 的周長的最小值為 $BG + 1$.
由軸對稱的性質(zhì)，可得 $\angle DCG = 2\angle BCF = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle DCG$ 是等邊三角形，$\therefore DG = DC = DB, \angle CDG = 60^{\circ}$，$\therefore \angle BGD = \angle GBD = \frac{1}{2}\angle CDG = 30^{\circ}$，$\therefore \angle CGB = \angle CGD + \angle DGB = 90^{\circ}$.
在 $Rt\triangle CBG$ 中，$BC = 2, CG = CD = 1, \therefore BG = \sqrt{3}$，$\therefore \triangle BDF$ 周長的最小值是 $\sqrt{3}+1$.
2. 【了解概念】如圖①,已知A,B為直線MN同側(cè)的兩點,P為直線MN上的一點,連接AP,BP,若∠APM= ∠BPN,則稱點P為點A,B關于直線MN的“等角點”。
【理解運用】(1)如圖②,在△ABC中,D為BC上一點,點D,E關于直線AB對稱,連接EB并延長至點F,判斷點B是否為點D,F關于直線AB的“等角點”,并說明理由；
【拓展提升】(2)如圖②,在(1)的條件下,若∠A= 70°,AB= AC,Q是射線EF上一點,且點D,Q關于直線AC的“等角點”為點C,請利用尺規(guī)在圖②中確定點Q的位置,并求出∠BQC的度數(shù)；
(3)如圖③,在△ABC中,∠ABC,∠BAC的平分線交于點O,點O到AC的距離為1,直線l垂直平分邊BC,點P為點O,B關于直線l的“等角點”,連接OP,BP,當∠ACB= 60°時,OP+BP的值為______。

答案：
(1) 解：點 $B$ 是點 $D,F$ 關于直線 $AB$ 的“等角點”. 理由如下：
$\because$ 點 $D,E$ 關于直線 $AB$ 對稱，$\therefore BE = BD, AB \perp DE$，$\therefore \angle ABE = \angle ABC$；$\because \angle ABE = \angle MBF$，$\therefore \angle ABC = \angle MBF$，$\therefore$ 點 $B$ 是點 $D,F$ 關于直線 $AB$ 的“等角點”.
(2) 解：如答圖①，點 $Q$ 即為所求.
$\because \angle A = 70^{\circ}, AB = AC, \therefore \angle ABC = \angle ACB = 55^{\circ}$.
$\because$ 點 $D,Q$ 關于直線 $AB,AC$ 的“等角點”分別為點 $B$ 和點 $C$，$\therefore \angle MBQ = \angle NCQ = 55^{\circ}$，$\therefore \angle CBQ = \angle BCQ = 70^{\circ}, \therefore \angle BQC = 40^{\circ}$.
第2題答圖
(3) 2 點撥：如答圖②，直線 $l$ 交 $AC$ 于點 $T$，作 $OD \perp AC$ 于點 $D$，連接 $PC,OC$.
$\because$ 直線 $l$ 垂直平分邊 $BC$，$\therefore PB = PC$，$\therefore \angle BPK = \angle CPK$.
$\because$ 點 $P$ 為點 $O,B$ 關于直線 $l$ 的“等角點”，$\therefore \angle OPT = \angle BPK$，$\therefore \angle CPK = \angle OPT$，$\therefore O,P,C$ 三點共線，$\therefore OP + BP = OP + PC = OC$.
$\because AO$ 平分 $\angle BAC, BO$ 平分 $\angle ABC$，$\therefore \angle OCD = \frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}$，$\therefore OC = 2OD = 2$，$\therefore$ 此時 $OP + BP = 2$.
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