1. (2024春·羅湖區(qū)期末)如圖,在△ABC中,AB= AC,∠A= 90°,點D,E是邊AB上的兩個定點,點M,N分別是邊AC,BC上的兩個動點. 當四邊形DEMN的周長最小時,∠DNM+∠EMN的大小是 (
B
)
A.45°
B.90°
C.75°
D.135°
答案：B
解析：
解：作點D關(guān)于BC的對稱點D'，點E關(guān)于AC的對稱點E'，連接D'E'，分別交AC、BC于點M、N。此時四邊形DEMN周長最小。
由對稱性質(zhì)得：∠DNB=∠D'NB，∠EMC=∠E'MC。
∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°。
∵D'是D關(guān)于BC的對稱點，∴∠D'BC=∠B=45°，∴∠D'BA=90°。
同理，∠E'CA=∠C=45°，∠E'AC=90°，∴E'在BA延長線上，D'E'//AC。
∴∠DNM=∠D'，∠EMN=∠E'。
∵∠D' + ∠E' = 90°（D'E'//AC，∠A=90°），∴∠DNM + ∠EMN=90°。
答案：B
2. 如圖,點P在∠AOB的內(nèi)部,點C和點P關(guān)于OA對稱,點P和點D關(guān)于OB對稱,連接CD交OA于點M,交OB于點N,連接OP,PM,PN.
(1)①若∠AOB= 60°,求∠COD的度數(shù)；
②若∠AOB= n°,則∠COD=
2n
°. (用含n的代數(shù)式表示)
(2)若CD= 4,則△PMN的周長為
4
.
答案：(1)①解:∵點C和點P關(guān)于OA對稱，
∴∠AOC=∠AOP.
∵點P和點D關(guān)于OB對稱，
∴∠BOD=∠BOP.
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=2×60°=120°.
?、?n
(2)4 點撥:∵點C和點P關(guān)于OA對稱，∴CM=PM.∵點P和點D關(guān)于OB對稱，∴DN=PN.
∵CD=4，∴CM+MN+DN=4.
∴PM+MN+PN=4，
即△PMN的周長為4.
3. 如圖,在△ABC中,∠ABC= 45°,點A關(guān)于直線BC的對稱點為點P,連接PB并延長,過點C作CD⊥AC,交射線PB于點D.
(1)如圖①,當∠ACB為鈍角時,補全圖形,判斷AC與CD的數(shù)量關(guān)系為______；
(2)如圖②,當∠ACB為銳角時,(1)中的結(jié)論是否仍成立? 請說明理由.
答案：解:(1)補全圖形如答圖①. AC=CD
點撥:如答圖①，連接CP，設(shè)AB交CD于點O.
∵點A，P關(guān)于直線BC對稱，
∴CA=CP，∠A=∠P，∠ABC=∠CBP=45°，
∴∠ABP=∠ABD=90°.
∵AC⊥CD，∴∠ACO=∠DBO=90°.
∵∠AOC=∠DOB，∴∠D=∠A，∴∠D=∠P，
∴CD=CP，∴AC=CD.
(2)(1)中結(jié)論仍成立.
理由:如答圖②，連接CP.
∵點A，P關(guān)于直線BC對稱，
∴CA=CP，∠A=∠P，∠ABC=∠CBP=45°，
∴∠ABP=90°.
∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠A+∠BDC=180°.
∵∠CDP+∠BDC=180°，
∴∠A=∠CDP，∴∠CDP=∠P，
∴CD=CP，∴AC=CD.
