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1. 如圖,已知$\triangle ABC的面積為8cm^{2}$,$BP為\angle ABC$的平分線,$AP垂直BP于點(diǎn)P$,則$\triangle BCP$的面積為(

)
A.$3.5cm^{2}$
B.$3.9cm^{2}$
C.$4cm^{2}$
D.$4.2cm^{2}$

答案：C

2. (2024 春·高州市月考)如圖,$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD是\triangle ABC$的角平分線,$DE\perp AB于點(diǎn)E$,$AD = BD$。
(1)求證：$AC = BE$；(2)求$\angle B$的度數(shù)。

答案：【解析】：本題可根據(jù)角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)來(lái)求解。
（1）求證$AC = BE$：
因?yàn)?AD$是$\triangle ABC$的角平分線，$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\perp AC$），$DE\perp AB$，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可得$DC = DE$。
在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle AED$中，$\begin{cases}AD = AD\\DC = DE\end{cases}$，根據(jù)“$HL$”（斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等）可判定$Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle AED$，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，所以$AC = AE$。
又因?yàn)?AD = BD$，$DE\perp AB$，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)（等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線相互重合），可知$BE = AE$。
由于$AC = AE$，$BE = AE$，所以$AC = BE$。
（2）求$\angle B$的度數(shù)：
由$AD = BD$，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，可得$\angle B = \angle BAD$。
因?yàn)?AD$是$\angle BAC$的角平分線，所以$\angle CAD = \angle BAD$。
那么$\angle B = \angle BAD = \angle CAD$。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根據(jù)三角形內(nèi)角和為$180^{\circ}$，可得$\angle B + \angle BAC = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$。
又因?yàn)?\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 2\angle B$，所以$\angle B + 2\angle B = 90^{\circ}$，即$3\angle B = 90^{\circ}$，解得$\angle B = 30^{\circ}$。
【答案】：(1) 證明：
∵$AD$是$\triangle ABC$的角平分線，$\angle C = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$，
∴$DC = DE$。
在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle AED$中，$\begin{cases}AD = AD\\DC = DE\end{cases}$，
∴$Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle AED(HL)$，
∴$AC = AE$。
∵$AD = BD$，$DE\perp AB$，
∴$BE = AE$，
∴$AC = BE$。
(2)
∵$AD = BD$，
∴$\angle B = \angle BAD$。
∵$AD$是$\angle BAC$的角平分線，
∴$\angle CAD = \angle BAD$。
∴$\angle B = \angle BAD = \angle CAD$。
∵$\angle C = 90^{\circ}$，
∴$\angle B + \angle BAC = 180^{\circ} - \angle C = 90^{\circ}$，
又∵$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 2\angle B$，
∴$\angle B + 2\angle B = 90^{\circ}$，
即$3\angle B = 90^{\circ}$，
解得$\angle B = 30^{\circ}$。

3. (1)觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片$ABC(AC＞AB)沿過(guò)點(diǎn)A$的直線折疊,使得$AB落在AC$邊上,折痕為$AD$,展平紙片(如圖①)；在第一次折疊的基礎(chǔ)上,第二次折疊該三角形紙片,使點(diǎn)$A和點(diǎn)D$重合,折痕為$EF$,展平紙片后得到$\triangle AEF$(如圖②)。小明認(rèn)為$\triangle AEF$是等腰三角形,你同意他的結(jié)論嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。
(2)模型與運(yùn)用：如圖③,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$BE平分\angle ABC交AC于點(diǎn)E$,過(guò)點(diǎn)$C作CD\perp BE$,交$BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D$。若$CD = 4$,求$\triangle BCE$的面積。

答案：
3. 解:(1)同意.理由如下:
如答圖①,設(shè)AD與EF交于點(diǎn)G.
由折疊知,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
由折疊知,∠AGE=∠DGE,∴∠AGE=∠AGF=90°,
∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,
即△AEF為等腰三角形.
(2)如答圖②,延長(zhǎng)CD與BA,交于點(diǎn)F.
∵BE平分∠ABC,CD⊥BE,
∴∠ABD=∠CBD,∠BDF=∠BDC=90°,
又∵BD=BD,∴△BDF≌△BDC(ASA),
∴FD=CD=4,CF=2CD=8.
∵∠BAC=90°,∴∠ABD+∠AEB=90°.
∵CD⊥BD,∴∠EDC=90°,∴∠ACD+∠CED=90°.
∵∠AEB=∠CED,∴∠ACD=∠ABD.
∵AC=AB,∴△CAF≌△BAE(ASA),∴BE=CF=8,
∴$S _ { △ B C E } = \frac { 1 } { 2 } B E \cdot C D = \frac { 1 } { 2 } × 8 × 4 = 16.$

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