2. 如圖,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 60^{\circ}$,$\angle C = 40^{\circ}$,$AP平分\angle BAC交BC于點(diǎn)P$,$BQ平分\angle ABC交AC于點(diǎn)Q$,求證:$AB + BP = BQ + AQ$.
答案：2. 證明:方法一:延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD = BP，連接PD，如答圖①，則∠D = ∠5。
∵AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC = 60°，∠C = 40°，
∴∠1 = ∠2 = 30°，∠ABC = 180° - 60° - 40° = 80°，∠3 = ∠4 = 40° = ∠C，∴QB = QC。
又∠D + ∠5 = ∠3 + ∠4 = 80°，∴∠D = 40°。
在△APD與△APC中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle D = \angle C, } \\ { \angle 2 = \angle 1, } \\ { AP = AP, } \end{array} \right.$
∴△APD≌△APC(AAS)，∴AD = AC，
即AB + BD = AQ + QC，∴AB + BP = BQ + AQ。
方法二:易得∠CBQ = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×(180° - 60° - 40°) = 40°，
∴∠CBQ = ∠C，∴BQ = CQ，
∴BQ + AQ = CQ + AQ = AC①。
過(guò)點(diǎn)P作PD//BQ交CQ于點(diǎn)D，如答圖②，
則∠CPD = ∠CBQ = 40°，∴∠CPD = ∠C = 40°，
∴PD = CD，∠ADP = ∠CPD + ∠C = 40° + 40° = 80°。
∵∠ABC = 80°，∴∠ABC = ∠ADP。
∵AP平分∠BAC，∴∠BAP = ∠CAP。
在△ABP與△ADP中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle ABP = \angle ADP, } \\ { \angle BAP = \angle DAP, } \\ { AP = AP, } \end{array} \right.$
∴△ABP≌△ADP(AAS)，
∴AB = AD，BP = PD，
∴AB + BP = AD + PD = AD + CD = AC②。
由①②可得，AB + BP = BQ + AQ。
