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解：過(guò)點(diǎn) $ D $ 作 $ DH \perp AC $ 于點(diǎn) $ H $。
∵ $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分線，且 $ DF \perp AB $，$ DH \perp AC $，
∴ $ DF = DH $。
設(shè) $ DF = DH = x $，$ S_{\triangle EDF} = y $。
∵ $ DE = DG $，
∴ $ S_{\triangle ADG} = S_{\triangle ADH} + S_{\triangle DGH} = 60 $，$ S_{\triangle AED} = S_{\triangle AFD} - S_{\triangle EFD} = 38 $。
設(shè) $ AF = a $，$ AH = b $，則 $ S_{\triangle AFD} = \frac{1}{2}ax $，$ S_{\triangle ADH} = \frac{1}{2}bx $。
∵ $ DE = DG $，$ DF = DH $，
∴ $ \triangle DFE \cong \triangle DHG $（HL），∴ $ S_{\triangle DGH} = S_{\triangle EFD} = y $。
∴ $ \frac{1}{2}bx + y = 60 $，$ \frac{1}{2}ax - y = 38 $。
又∵ $ AD $ 是角平分線，由角平分線性質(zhì)得 $ AF = AH $（可通過(guò)全等證明 $ \triangle AFD \cong \triangle AHD $），即 $ a = b $。
∴ $ \frac{1}{2}ax = \frac{1}{2}bx $，設(shè) $ \frac{1}{2}ax = \frac{1}{2}bx = m $，則 $ m - y = 38 $，$ m + y = 60 $。
兩式相減得 $ 2y = 22 $，∴ $ y = 11 $。
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