23. (8分)將$a$克糖放入水中,得到$b$克糖水,此時(shí)糖水的含糖量我們可以記為$\frac {a}(b＞a＞0)$.
(1)再往杯中加入$m(m＞0)$克糖,生活中的經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水變甜了,用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為(
A
)
A. $\frac {a+m}{b+m}＞\frac {a}$ B. $\frac {a+m}{b+m}= \frac {a}$ C. $\frac {a+m}{b+m}＜\frac {a}$
(2)請證明你的選擇.
證明: $\frac{a + m}{b + m} - \frac{a} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} = \frac{ab + bm - ab - am}{b(b + m)} = \frac{(b - a)m}{b(b + m)}$. $\because m ＞ 0, b ＞ a ＞ 0, \therefore b - a ＞ 0, \therefore \frac{(b - a)m}{b(b + m)} ＞ 0, \therefore \frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}$ 成立.
答案：(1)A (2)證明: $\frac{a + m}{b + m} - \frac{a} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} = \frac{ab + bm - ab - am}{b(b + m)} = \frac{(b - a)m}{b(b + m)}$. $\because m ＞ 0, b ＞ a ＞ 0, \therefore b - a ＞ 0, \therefore \frac{(b - a)m}{b(b + m)} ＞ 0, \therefore \frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}$ 成立.
24. (8分)某列車平均提速60km/h.用相同的時(shí)間,該列車提速前行駛200km,提速后比提速前多行駛100km,求提速前該列車的平均速度.
| |路程/km|速度/(km/h)|時(shí)間/h|
|提速前|200|$x$|$\frac {200}{x}$|
|提速后|$200+100$|
$x + 60$
|
$\frac{300}{x + 60}$
|
(1)設(shè)提速前該列車的平均速度為$x$km/h,補(bǔ)全表格；
(2)列出方程并解答.
(2)解: 由題意得 $\frac{200}{x} = \frac{300}{x + 60}$, 解得 $x = 120$. 經(jīng)檢驗(yàn), $x = 120$ 是原分式方程的解, 且符合題意. 答: 提速前該列車的平均速度為 $120\ km/h$.
答案：(1)$x + 60$ $\frac{300}{x + 60}$ (2)解: 由題意得 $\frac{200}{x} = \frac{300}{x + 60}$, 解得 $x = 120$. 經(jīng)檢驗(yàn), $x = 120$ 是原分式方程的解, 且符合題意. 答: 提速前該列車的平均速度為 $120\ km/h$.
25. (9分)(2024春·深圳期中)某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車,隨著汽車的普及,其價(jià)格也在不斷下降.今年5月份A款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬元,如果賣出相同數(shù)量的A款汽車,去年的銷售額為90萬元,今年的銷售額只有80萬元.
(1)今年5月份A款汽車每輛的售價(jià)為多少萬元？
(2)為了增加收入,汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車,已知A款汽車每輛的進(jìn)價(jià)為7.5萬元,B款汽車每輛的進(jìn)價(jià)為6萬元,公司預(yù)計(jì)用少于105萬元且多于99萬元的資金購進(jìn)這兩款汽車共15輛,有哪幾種進(jìn)貨方案？
答案：解: (1) 設(shè)今年 5 月份 A 款汽車每輛的售價(jià)為 $x$ 萬元. 根據(jù)題意, 得 $\frac{90}{x + 1} = \frac{80}{x}$, 解得 $x = 8$. 經(jīng)檢驗(yàn), $x = 8$ 是原分式方程的解. 答: 今年 5 月份 A 款汽車每輛的售價(jià)為 8 萬元. (2) 設(shè)購進(jìn) A 款汽車 $y$ 輛, 則購進(jìn) B 款汽車 $(15 - y)$ 輛. 根據(jù)題意, 得 $\begin{cases}7.5y + 6(15 - y) ＜ 105, \\ 7.5y + 6(15 - y) ＞ 99,\end{cases}$ 解得 $6 ＜ y ＜ 10$. $\because y$ 為正整數(shù), $\therefore y$ 可取 7, 8, 9, $\therefore$ 有 3 種進(jìn)貨方案, 分別為 方案一: 購進(jìn) A 款汽車 7 輛, 購進(jìn) B 款汽車 8 輛; 方案二: 購進(jìn) A 款汽車 8 輛, 購進(jìn) B 款汽車 7 輛; 方案三: 購進(jìn) A 款汽車 9 輛, 購進(jìn) B 款汽車 6 輛.
