10. 一次數(shù)學活動課上,聰明的王同學利用“在面積一定的長方形中,正方形的周長最短”這一結論推導出“式子$x+\frac {4}{x}(x＞0)$”的最小值,則這個最小值是(
D
)
A.2
B.3
C.3.5
D.4
答案：D
解析：
解：設長方形的長為 $ x $，寬為 $ \frac{4}{x} $（$ x ＞ 0 $），則長方形面積為 $ x \cdot \frac{4}{x} = 4 $（面積一定）。
根據(jù)“在面積一定的長方形中，正方形的周長最短”，當長方形為正方形時，長和寬相等，即 $ x = \frac{4}{x} $。
解得 $ x^2 = 4 $，$ x = 2 $（$ x ＞ 0 $）。
此時 $ x + \frac{4}{x} = 2 + \frac{4}{2} = 4 $，故最小值為 4。
答案：D
11. 已知$a+b= 5$,$ab= 3$,則$\frac {a}+\frac {a}= $
$\frac{19}{3}$
.
答案：$\frac{19}{3}$
解析：
解：$\frac{a}+\frac{a}$
$=\frac{b^2+a^2}{ab}$
$=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$
當$a+b=5$，$ab=3$時，
原式$=\frac{5^2-2×3}{3}$
$=\frac{25-6}{3}$
$=\frac{19}{3}$
$\frac{19}{3}$
12. $\frac {2}{3x^{2}(x-y)}$,$\frac {1}{2x-2y}$,$\frac {3}{4xy}$的最簡公分母是
$12x^{2}y(x - y)$
.
答案：$12x^{2}y(x - y)$
解析：
解：分別對各分母進行因式分解：
$3x^{2}(x - y)$ 已分解
$2x - 2y = 2(x - y)$
$4xy$ 已分解
確定最簡公分母：
系數(shù)：取 3、2、4 的最小公倍數(shù) 12
字母因式：$x$ 的最高次冪 $x^{2}$，$y$ 的最高次冪 $y$，$(x - y)$ 的最高次冪 $(x - y)$
最簡公分母為 $12x^{2}y(x - y)$
答案：$12x^{2}y(x - y)$
13. 計算：$a^{2}b\cdot ab^{-1}= $
$a^{3}$
.
答案：$a^{3}$
解析：
$a^{2}b\cdot ab^{-1}=a^{2}\cdot a\cdot b\cdot b^{-1}=a^{2+1}\cdot b^{1-1}=a^{3}\cdot b^{0}=a^{3}\cdot1=a^{3}$
答案：$a^{3}$
14. 化簡：$(1-\frac {1}{a+1})(\frac {1}{a^{2}}-1)= $
$\frac{1 - a}{a}$
.
答案：$\frac{1 - a}{a}$
解析：
解：$(1-\frac{1}{a+1})(\frac{1}{a^{2}}-1)$
$=(\frac{a+1}{a+1}-\frac{1}{a+1})(\frac{1}{a^{2}}-\frac{a^{2}}{a^{2}})$
$=\frac{a}{a+1}\cdot\frac{1 - a^{2}}{a^{2}}$
$=\frac{a}{a+1}\cdot\frac{(1 - a)(1 + a)}{a^{2}}$
$=\frac{1 - a}{a}$
15. (1)已知$\frac {a+3b}{a}= 2$,則$\frac {a}=$
$\frac{1}{3}$
；
(2)已知$\frac {1}{a}-\frac {1}= 5$,則$\frac {3a-5ab-3b}{a-3ab-b}=$
$\frac{5}{2}$
.
答案：(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{5}{2}$
解析：
(1)
解：$\frac{a+3b}{a}=2$
$1+\frac{3b}{a}=2$
$\frac{3b}{a}=1$
$\frac{a}=\frac{1}{3}$
(2)
解：$\frac{1}{a}-\frac{1}=5$
$\frac{b-a}{ab}=5$
$b-a=5ab$
$a-b=-5ab$
$\frac{3a-5ab-3b}{a-3ab-b}=\frac{3(a-b)-5ab}{(a-b)-3ab}=\frac{3(-5ab)-5ab}{-5ab-3ab}=\frac{-15ab-5ab}{-8ab}=\frac{-20ab}{-8ab}=\frac{5}{2}$
答案：(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{5}{2}$
16. 分式方程$\frac {2}{x-1}+\frac {2}{1-x^{2}}= \frac {3}{x+1}$的解是
$x = 3$
.
答案：$x = 3$
解析：
解：方程兩邊同乘最簡公分母$(x - 1)(x + 1)$，得
$2(x + 1) - 2 = 3(x - 1)$
去括號，得$2x + 2 - 2 = 3x - 3$
化簡，得$2x = 3x - 3$
移項，得$3x - 2x = 3$
解得$x = 3$
檢驗：當$x = 3$時，$(x - 1)(x + 1) = (3 - 1)(3 + 1) = 8 ≠ 0$
所以原分式方程的解是$x = 3$
$x = 3$
17. 若關于$x的不等式組\left\{\begin{array}{l} \frac {x+2}{3}＞\frac {x}{2}+1,\\ 4x+a＜x-1\end{array} \right. 的解集是x＜-2$,且關于$y的分式方程\frac {a+2}{y-1}+\frac {y+2}{1-y}= 2$的解為正數(shù),則所有滿足條件的整數(shù)$a$的值之和為
13
.
答案：13
解析：
解：解不等式組$\left\{\begin{array}{l} \frac {x+2}{3}＞\frac {x}{2}+1\\ 4x+a＜x-1\end{array}\right.$
解第一個不等式：
$\frac{x + 2}{3}＞\frac{x}{2} + 1$
兩邊同乘 6：$2(x + 2)＞3x + 6$
$2x + 4＞3x + 6$
$-x＞2$
$x＜ - 2$
解第二個不等式：
$4x + a＜x - 1$
$3x＜ - 1 - a$
$x＜\frac{ - 1 - a}{3}$
因為不等式組解集為$x＜ - 2$，所以$\frac{ - 1 - a}{3}≥ - 2$
$-1 - a≥ - 6$
$-a≥ - 5$
$a≤5$
解分式方程$\frac{a + 2}{y - 1}+\frac{y + 2}{1 - y}=2$
化為$\frac{a + 2}{y - 1}-\frac{y + 2}{y - 1}=2$
$\frac{a + 2 - y - 2}{y - 1}=2$
$\frac{a - y}{y - 1}=2$
$a - y = 2(y - 1)$
$a - y = 2y - 2$
$-3y = -a - 2$
$y=\frac{a + 2}{3}$
因為方程解為正數(shù)，所以$\frac{a + 2}{3}＞0$，$a + 2＞0$，$a＞ - 2$
且$y≠1$，即$\frac{a + 2}{3}≠1$，$a + 2≠3$，$a≠1$
綜上，$-2＜a≤5$且$a≠1$，整數(shù)$a$為$-1,0,2,3,4,5$
和為$-1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 13$
13
18. 數(shù)學家斐波那契編寫的《算經》中有如下問題：一組人平分10元錢,每人分得若干；若再加上6人,平分40元錢,則第二次每人所得的錢數(shù)與第一次相同,求第一次分錢的人數(shù).設第一次分錢的人數(shù)為$x$,則可列方程為
$\frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6}$
.
答案：$\frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6}$
解析：
設第一次分錢的人數(shù)為$x$，根據(jù)題意，第一次每人分得$\frac{10}{x}$元，第二次人數(shù)為$x + 6$人，每人分得$\frac{40}{x + 6}$元，因為兩次每人所得錢數(shù)相同，所以可列方程為$\frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6}$。
$\frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6}$
19. (12分)化簡下列各式：
(1)$\frac {x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}÷\frac {x^{2}+x}{x-1}$；
(2)$\frac {x^{2}-16}{x+4}÷\frac {2x-8}{4x}$；
(3)$(a-b+\frac {b^{2}}{a+b})\cdot \frac {a+b}{a}$；
(4)$(\frac {x+3}{x-3}-\frac {12x}{x^{2}-9})÷\frac {x-3}{x^{2}+3x}$.
答案：解: (1) 原式 $= \frac{(x + 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)} ÷ \frac{x(x + 1)}{x - 1} = \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x}$. (2) 原式 $= \frac{(x + 4)(x - 4)}{x + 4} \cdot \frac{4x}{2(x - 4)} = 2x$. (3) 原式 $= \frac{(a - b)(a + b) + b^{2}}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a} = \frac{a^{2}}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a} = a$. (4) 原式 $= [\frac{x^{2} + 6x + 9}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{12x}{(x + 3)(x - 3)}] ÷ \frac{x - 3}{x(x + 3)} = \frac{(x - 3)^{2}}{(x + 3)(x - 3)} \cdot \frac{x(x + 3)}{x - 3} = x$.
