23.(10分)(1)已知$3^{m}= 6,9^{n}= 2$,求$3^{m+2n},3^{2m-4n}$的值；
(2)比較大?。?4^{20}與15^{10}$.
答案：(1) ∵ 3? = 6, 9? = 2, ∴ 3??2? = 3?·32? = 3?·(32)? = 3?·9? = 6×2 = 12. 32???? = 32? ÷ 3?? = (3?)2 ÷ (32?)2 = (3?)2 ÷ (9?)2 = 62 ÷ 22 = 9. (2) ∵ 42? = (42)1? = 161?, ∵ 161? ＞ 151?, ∴ 42? ＞ 151?.
24.(12分)發(fā)現(xiàn)：任意五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù).
驗(yàn)證：(1)$(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}$的結(jié)果是5的幾倍?
(2)設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)的中間一個(gè)數(shù)為n,寫出它們的平方和,并說(shuō)明是5的倍數(shù).
延伸：任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和被3除的余數(shù)是幾? 并寫出理由.
答案：驗(yàn)證:(1) (-1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 15, 15 ÷ 5 = 3, ∴ (-1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 的結(jié)果是 5 的 3 倍. (2) 由題意知,五個(gè)連續(xù)整數(shù)的中間一個(gè)數(shù)為 n, 則其余 4 個(gè)整數(shù)分別是 n - 2, n - 1, n + 1, n + 2, 它們的平方和為 (n - 2)2 + (n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = n2 - 4n + 4 + n2 - 2n + 1 + n2 + n2 + 2n + 1 + n2 + 4n + 4 = 5n2 + 10 = 5(n2 + 2), ∵ n 是整數(shù), ∴ n2 + 2 是整數(shù), ∴ 五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和是 5 的倍數(shù). 延伸:余數(shù)是 2. 理由:設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)的中間一個(gè)數(shù)為 m, 則其余兩個(gè)整數(shù)分別是 m - 1, m + 1, 它們的平方和為 (m - 1)2 + m2 + (m + 1)2 = m2 - 2m + 1 + m2 + m2 + 2m + 1 = 3m2 + 2. ∵ m 是整數(shù), ∴ m2 是整數(shù), ∴ 任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和被 3 除的余數(shù)是 2.
