1. 下列運(yùn)算正確的是(
B
)
A.$ 2 a ( a - 1 ) = 2 a ^ { 2 } - a $
B.$ a ( a + 3 b ) = a ^ { 2 } + 3 a b $
C.$ - 3 ( a + b ) = - 3 a + 3 b $
D.$ a ( - a + 2 b ) = - a ^ { 2 } - 2 a b $
答案：B
解析：
A.$2a(a - 1) = 2a^2 - 2a$，故A錯誤；
B.$a(a + 3b) = a^2 + 3ab$，故B正確；
C.$-3(a + b) = -3a - 3b$，故C錯誤；
D.$a(-a + 2b) = -a^2 + 2ab$，故D錯誤。
B
2. 若計(jì)算 $ ( x ^ { 2 } + a x + 5 ) \cdot ( - 2 x ) - 6 x ^ { 2 } $的結(jié)果中不含 $ x ^ { 2 } $項(xiàng),則 $ a $的值為(
A
)
A.$ - 3 $
B.$ - \frac { 1 } { 3 } $
C.$ 0 $
D.$ 3 $
答案：【解析】：
本題主要考查整式的乘法運(yùn)算以及合并同類項(xiàng)的知識點(diǎn)。
首先，我們將給定的整式進(jìn)行乘法運(yùn)算，即：
$(x^{2} + ax + 5) \cdot ( - 2x) = - 2x^{3} - 2ax^{2} - 10x$
然后，我們將上述結(jié)果與$-6x^{2}$進(jìn)行合并，得到：
$- 2x^{3} - 2ax^{2} - 10x - 6x^{2} = - 2x^{3} + ( - 2a - 6)x^{2} - 10x$
由題意知，結(jié)果中不含$x^{2}$項(xiàng)，即$x^{2}$的系數(shù)為0，所以我們有：
$- 2a - 6 = 0$
解這個方程，我們得到：
$a = - 3$
【答案】：
A. $-3$
3. (2024·常州期中)若三角形的底邊長為 $ 2 n $,對應(yīng)的高為 $ 2 n - 1 $,則此三角形的面積為(
B
)
A.$ 2 n ^ { 2 } - 2 n $
B.$ 2 n ^ { 2 } - n $
C.$ 4 n ^ { 2 } - 2 n $
D.$ 4 n ^ { 2 } - n $
答案：【解析】：
本題主要考查三角形的面積計(jì)算公式以及整式的乘法。
三角形的面積計(jì)算公式為：面積 = (底 × 高) ÷ 2。
根據(jù)題目，三角形的底邊長為 $2n$，高為 $2n - 1$。
將這些值代入面積公式，得到：面積 = $\frac{1}{2} × 2n × (2n - 1)$。
接下來進(jìn)行整式的乘法運(yùn)算：
面積 = $n × (2n - 1)$
= $2n^{2} - n$
與選項(xiàng)進(jìn)行對比，可以看出答案與選項(xiàng)B相匹配。
【答案】：
B. $2n^{2} - n$
4. 如果 $ m ^ { 2 } - 2 m - 2 = 0 $,那么代數(shù)式 $ 3 m ( m - 2 ) + 2 $的值是
8
.
答案：【解析】：
本題主要考察代數(shù)式的化簡與求值。
首先，由題目給出的等式 $m^2 - 2m - 2 = 0$，我們可以得到 $m^2 - 2m = 2$。
然后，我們考慮代數(shù)式 $3m(m - 2) + 2$。
根據(jù)分配律，我們可以將其化簡為 $3m^2 - 6m + 2$。
接著，我們可以將 $m^2 - 2m$ 的值代入這個表達(dá)式中，
得到 $3(m^2 - 2m) + 2$。
由于 $m^2 - 2m = 2$，
所以 $3(m^2 - 2m) + 2 = 3 × 2 + 2 = 8$。
【答案】：
8
5. 計(jì)算 $ 2 x ^ { 2 } y \cdot ( \frac { 1 } { 2 } - 3 x y + y ^ { 3 } ) $的結(jié)果是
$x^{2}y - 6x^{3}y^{2}+2x^{2}y^{4}$
.
答案：【解析】：
本題考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，即根據(jù)乘法分配律，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
對于$2x^{2}y\cdot(\frac{1}{2}-3xy + y^{3})$，將$2x^{2}y$分別與$\frac{1}{2}$、$-3xy$、$y^{3}$相乘：
$2x^{2}y×\frac{1}{2}=x^{2}y$；
$2x^{2}y×(-3xy)=-6x^{3}y^{2}$；
$2x^{2}y× y^{3}=2x^{2}y^{4}$。
最后將所得的積相加，得到$x^{2}y-6x^{3}y^{2}+2x^{2}y^{4}$。
【答案】：
$x^{2}y - 6x^{3}y^{2}+2x^{2}y^{4}$
6. 計(jì)算下列各式：
(1) $ ( - 3 y ) ( 4 x ^ { 2 } y - 2 x y ) $；
(2) $ x ( x + 4 y ) - 2 x \cdot 3 y $；
(3) $ ( \frac { 2 } { 3 } a b ^ { 2 } - 2 a b ) \cdot \frac { 1 } { 2 } a b $；
(4) $ - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } y \cdot ( \frac { 2 } { 3 } y ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 4 } ) $；
(5) $ ( - 3 a ) ( 5 a ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } a + 1 ) - ( 2 a ) ^ { 3 } $；
(6) $ 3 a ^ { 2 } ( a ^ { 3 } b ^ { 2 } - 2 a ) - 4 a ( - a ^ { 2 } b ) ^ { 2 } $.
答案：【解析】：
本題主要考查整式的乘法運(yùn)算，包括單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及冪的運(yùn)算法則。
(1) 對于 $( - 3y)(4x^{2}y - 2xy)$，需要使用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，即單項(xiàng)式分別與多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)相乘，然后合并同類項(xiàng)。
(2) 對于 $x(x + 4y) - 2x \cdot 3y$，首先使用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，然后進(jìn)行合并同類項(xiàng)。
(3) 對于 $(\frac{2}{3}ab^{2} - 2ab) \cdot \frac{1}{2}ab$，同樣使用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則。
(4) 對于 $-\frac{1}{2}x^{2}y \cdot (\frac{2}{3}y^{2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{4})$，也是使用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則。
(5) 對于 $(-3a)(5a^{2} - \frac{4}{3}a + 1) - (2a)^{3}$，首先使用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，然后計(jì)算冪的運(yùn)算，最后合并同類項(xiàng)。
(6) 對于 $3a^{2}(a^{3}b^{2} - 2a) - 4a(-a^{2}b)^{2}$，首先使用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，然后計(jì)算冪的運(yùn)算和乘法，最后合并同類項(xiàng)。
【答案】：
(1) 解：
$( - 3y)(4x^{2}y - 2xy)$
$= - 3y \cdot 4x^{2}y + (- 3y) \cdot ( - 2xy)$
$= - 12x^{2}y^{2} + 6xy^{2}$
(2) 解：
$x(x + 4y) - 2x \cdot 3y$
$= x^{2} + 4xy - 6xy$
$= x^{2} - 2xy$
(3) 解：
$(\frac{2}{3}ab^{2} - 2ab) \cdot \frac{1}{2}ab$
$= \frac{2}{3}ab^{2} \cdot \frac{1}{2}ab + ( - 2ab) \cdot \frac{1}{2}ab$
$= \frac{1}{3}a^{2}b^{3} - a^{2}b^{2}$
(4) 解：
$-\frac{1}{2}x^{2}y \cdot (\frac{2}{3}y^{2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{4})$
$= -\frac{1}{2}x^{2}y \cdot \frac{2}{3}y^{2} + (-\frac{1}{2}x^{2}y) \cdot ( - \frac{1}{3}x) + (-\frac{1}{2}x^{2}y) \cdot \frac{1}{4}$
$= -\frac{1}{3}x^{2}y^{3} + \frac{1}{6}x^{3}y - \frac{1}{8}x^{2}y$
(5) 解：
$(-3a)(5a^{2} - \frac{4}{3}a + 1) - (2a)^{3}$
$= -15a^{3} + 4a^{2} - 3a - 8a^{3}$
$= -23a^{3} + 4a^{2} - 3a$
(6) 解：
$3a^{2}(a^{3}b^{2} - 2a) - 4a(-a^{2}b)^{2}$
$= 3a^{5}b^{2} - 6a^{3} - 4a \cdot a^{4}b^{2}$
$= 3a^{5}b^{2} - 6a^{3} - 4a^{5}b^{2}$
$= -a^{5}b^{2} - 6a^{3}$
7. 已知 $ a + b = 4 $,$ b - c = - 3 $,則代數(shù)式 $ a c + b ( c - a - b ) $的值是(
A
)
A.$ 12 $
B.$ - 12 $
C.$ 7 $
D.$ - 7 $
答案：解：
原式 = $ac + b(c - a - b)$
= $ac + bc - ab - b^2$
= $c(a + b) - b(a + b)$
= $(a + b)(c - b)$
已知 $a + b = 4$，$b - c = -3$，則 $c - b = 3$。
代入得：原式 = $4 × 3 = 12$
答案：A
8. 若 $ - x ^ { 3 } ( x ^ { 2 } + a x + 1 ) + 3 x ^ { 4 } $中不含有 $ x $的四次項(xiàng),則 $ a $的值為
3
.
答案：【解析】：
本題主要考查整式的乘法運(yùn)算以及代數(shù)式相等的條件。
首先，我們需要對給定的整式進(jìn)行展開：
$- x ^ { 3 } ( x ^ { 2 } + ax + 1 ) + 3 x ^ { 4 }$
$= - x ^ { 5 } - a x ^ { 4 } - x ^ { 3 } + 3 x ^ { 4 }$
$= - x ^ { 5 } + (3 - a) x ^ { 4 } - x ^ { 3 }$
由題意知，該整式中不含有$x$的四次項(xiàng)，即$(3 - a) x ^ { 4 }$的系數(shù)為0，
因此，我們可以得到方程：
$3 - a = 0$
解這個方程，我們可以得到$a$的值。
【答案】：
$a = 3$
9. 計(jì)算 $ ( 2 a ^ { 2 } b ^ { 3 } ) ^ { 2 } \cdot ( - 5 a b ^ { 2 } + 3 a ^ { 3 } b ) = $
$- 20a^{5}b^{8} + 12a^{7}b^{7}$
.
答案：【解析】：
本題主要考查整式的乘法，特別是冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則，以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則。
首先，我們計(jì)算 $(2a^{2}b^{3})^{2}$，根據(jù)冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則，有 $(2a^{2}b^{3})^{2} = 4a^{4}b^{6}$。
接著，我們將 $4a^{4}b^{6}$ 與 $-5ab^{2} + 3a^{3}b$ 相乘，根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，即分配律，有：
$4a^{4}b^{6} \cdot (-5ab^{2} + 3a^{3}b) = 4a^{4}b^{6} \cdot (-5ab^{2}) + 4a^{4}b^{6} \cdot (3a^{3}b)$
$= -20a^{5}b^{8} + 12a^{7}b^{7}$
【答案】：
$- 20a^{5}b^{8} + 12a^{7}b^{7}$
10. 已知 $ 2 m - 3 n = - 5 $,則 $ m ( n - 4 ) - n ( m - 6 ) $的值為
10
.
答案：【解析】：
本題主要考查整式的乘法及代數(shù)式的化簡與求值。
首先，我們將原式$m ( n - 4 ) - n ( m - 6 )$進(jìn)行展開：
$m ( n - 4 ) - n ( m - 6 )$
$= mn - 4m - mn + 6n$
$= - 4m + 6n$
然后，我們對上述結(jié)果進(jìn)行整理，提取公因數(shù)：
$= - 2(2m - 3n)$
根據(jù)題目給出的條件$2m - 3n = - 5$，代入上述表達(dá)式中：
$= - 2 × ( - 5)$
$= 10$
【答案】：
10
