9. 為了解決某地區(qū)兩個(gè)村莊的村民子女就近入學(xué)問(wèn)題,某企業(yè)捐資助學(xué),計(jì)劃新建一所學(xué)校.如圖,AB,AC 表示兩條公路,點(diǎn) M,N 表示兩個(gè)村莊,學(xué)校的位置需滿足三個(gè)條件:①到兩條公路的距離相等;②到兩個(gè)村莊的距離相等;③在$∠BAC$的內(nèi)部.請(qǐng)運(yùn)用尺規(guī)作圖確定學(xué)校的位置,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡并寫(xiě)明結(jié)論.
答案：解:點(diǎn)P為線段MN的垂直平分線與∠BAC的平分線的交點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)M,N的距離相等，到AB,AC的距離也相等，如答圖.
10. 如圖,已知$△ABC$為等腰直角三角形,$AC= BC= 4,∠BCD= 15^{\circ }$,P 為射線 CD 上的動(dòng)點(diǎn),求$|PA-PB|$的最大值.
答案：解:如答圖，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B交CD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是使|PA - PB|的值最大的點(diǎn)，|PA - PB|=A'B,連接A'C.
∵△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=4,
∴∠CAB=∠ABC=45°,∠ACB=90°.
∵∠BCD=15°,
∴∠ACD=75°,
∴∠A'CD=75°,
∴∠ACA'=150°.
∵AC=A'C,
∴A'C=BC,∠CA'A=∠CAA'=15°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A'CB=60°,
∴△A'BC是等邊三角形,
∴A'B=BC=4.
故|PA - PB|的最大值為4.
11. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為$(1,0)$,以線段 OA 為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形 AOB,C 為 x 軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)$(OC＞1)$,連接 BC,以線段 BC 為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形 CBD,連接 DA 并延長(zhǎng),交 y 軸于點(diǎn) E.
(1)$△OBC與△ABD$全等嗎? 證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),以 A,E,C 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?
答案：解:
(1)△OBC≌△ABD.證明如下:
∵△AOB,△CBD都是等邊三角形,
∴OB=AB,CB=DB,∠ABO=∠DBC,
∴∠OBC=∠ABD.
在△OBC和△ABD中,{OB = AB,∠OBC = ∠ABD,CB = DB,
∴△OBC≌△ABD(SAS).
(2)
∵△OBC≌△ABD,
∴∠BOC=∠BAD=60°.
又
∵∠OAB=60°,
∴∠OAE=180° - 60° - 60°=60°,
∴∠EAC=120°,∠OEA=30°,
∴當(dāng)以A,E,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),AE和AC是腰.
∵在Rt△AOE中,OA=1,∠OEA=30°,
∴AE=2,
∴AC=AE=2,
∴OC=1 + 2=3,
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0)時(shí),以A,E,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.
