2. 閱讀教材第 94 頁“綜合與實(shí)踐”,解決下列問題：
(1)如圖①,直線$l同側(cè)有A$,$B$兩個(gè)公園,某施工隊(duì)要在直線$l上建一個(gè)材料供應(yīng)點(diǎn)P$,使得從$A公園經(jīng)P點(diǎn)到B$公園的路徑最短.
①請(qǐng)?jiān)趫D①中畫出點(diǎn)$P$的位置,并詳細(xì)說明作圖依據(jù)；
②若在直線$l上選取另一點(diǎn)Q$(點(diǎn)$Q與點(diǎn)P$不重合),試通過說理的方式證明$AP+PB＜AQ+QB$.
(2)如圖②,$A$,$B$是兩條平行街道(街道寬度忽略不計(jì))兩側(cè)的兩個(gè)小區(qū),現(xiàn)在要在兩條街道上分別設(shè)取件點(diǎn)$N$,$M$,使得$A小區(qū)居民經(jīng)N到M再到B$小區(qū)的路徑最短. 請(qǐng)畫出$M$,$N$的位置,并闡述作圖思路.
答案：2.解:
(1)①如答圖①,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.
依據(jù):因?yàn)辄c(diǎn)A與A'關(guān)于直線l對(duì)稱,所以直線l是線段AA'的垂直平分線.根據(jù)垂直平分線的性質(zhì),垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等,即PA=PA',那么AP+PB=A'P+PB,又因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短,所以A'B最短,即此時(shí)AP+PB最小.
②如答圖②,連接A'Q.
因?yàn)辄c(diǎn)A與A'關(guān)于直線l對(duì)稱,所以AQ=A'Q.
在△A'QB中,根據(jù)三角形三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊”,可得A'P+PB＜A'Q+QB.
因?yàn)锳P=A'P,AQ=A'Q,所以AP+PB＜AQ+QB.
(2)如答圖③,將點(diǎn)A沿垂直于街道的方向平移,平移距離為兩條街道間的距離,得到點(diǎn)A',連接A'B,與街道l?交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作街道l?的垂線,與街道l?交于點(diǎn)N.
在AN+MN+MB中,MN是街道寬度,為定值,當(dāng)AN+BM值最小時(shí),路徑最短.根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”知,A'M+MB最短,又AN=A'M,所以AN+MN+MB最短.
