1. 在一個直角三角形中,一個銳角是$40^{\circ }$,另一個銳角是 (
B
)
A.$70^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$10^{\circ }$
答案：B
解析：
直角三角形兩銳角和為$90^{\circ }$，另一個銳角為$90^{\circ } - 40^{\circ } = 50^{\circ }$
B
2. (2024秋·陽泉期中)如圖,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },CD⊥AB$于點D.若$∠A= 35^{\circ }$,則$∠BCD$的度數(shù)為 (
B
)
A.$40^{\circ }$
B.$35^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$25^{\circ }$
答案：B
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=35^{\circ}$，
$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$。
$\because CD\perp AB$，
$\therefore \angle CDB=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle CDB$中，$\angle BCD=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$。
B
3. (2023春·南京期末)直角三角形中兩個銳角的差為$20^{\circ }$,則較小的銳角度數(shù)是
35
$^{\circ }$.
答案：35
解析：
設(shè)較小的銳角度數(shù)為$x$，則另一個銳角度數(shù)為$x + 20^{\circ}$。
因為直角三角形的兩個銳角和為$90^{\circ}$，所以可得方程：
$x + (x + 20^{\circ}) = 90^{\circ}$
$2x + 20^{\circ} = 90^{\circ}$
$2x = 90^{\circ} - 20^{\circ}$
$2x = 70^{\circ}$
$x = 35^{\circ}$
35
4. 如圖,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,CD是邊AB上的高,$∠1= 32^{\circ }$,求$∠2,∠B,∠A$的度數(shù).
答案：解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠1=32°,
∴∠2=90°-∠1=90°-32°=58°.
∵CD是邊AB上的高,
∴∠BDC=∠ADC=90°,
∴∠A=90°-∠1=90°-32°=58°,∠B=90°-∠2=90°-58°=32°.
5. 具備下列條件的$△ABC$中,不是直角三角形的是 (
D
)
A.$∠A+∠B= ∠C$
B.$∠A-∠B= ∠C$
C.$∠A:∠B:∠C= 1:2:3$
D.$∠A= ∠B= 3∠C$
答案：D
解析：
A.
∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，是直角三角形；
B.
∵∠A-∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，是直角三角形；
C.
∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×$\frac{3}{1+2+3}$=90°，是直角三角形；
D.
∵∠A=∠B=3∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴3∠C+3∠C+∠C=180°，∠C=$\frac{180°}{7}$，∠A=∠B=$\frac{540°}{7}$≠90°，不是直角三角形。
D
6. 如圖,$△ABC與△CDE$均為直角三角形,AB交CD于點F,$∠ACB= ∠CDE= 90^{\circ },∠B= 30^{\circ },∠E= 45^{\circ },∠ECB= α$,則$∠CFB= $ (
C
)
A.$α+90^{\circ }$
B.$α+45^{\circ }$
C.$105^{\circ }-α$
D.$180^{\circ }-α$
答案：C
解析：
在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠B=30^{\circ}$，則$∠A=180^{\circ}-∠ACB-∠B=60^{\circ}$。
在$△CDE$中，$∠CDE=90^{\circ}$，$∠E=45^{\circ}$，則$∠DCE=180^{\circ}-∠CDE-∠E=45^{\circ}$。
因為$∠ECB=α$，$∠ACB=90^{\circ}$，所以$∠ACF=∠ACB - ∠ECB - ∠DCE=90^{\circ}-α - 45^{\circ}=45^{\circ}-α$。
在$△AFC$中，$∠AFC=180^{\circ}-∠A - ∠ACF=180^{\circ}-60^{\circ}-(45^{\circ}-α)=75^{\circ}+α$。
因為$∠AFC$與$∠CFB$互補，所以$∠CFB=180^{\circ}-∠AFC=180^{\circ}-(75^{\circ}+α)=105^{\circ}-α$。
C
7. 有一道題:“如圖,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,將$△ABC$沿DE折疊,使得點B落在邊AC上的點F處,若$∠CFD= 60^{\circ }$,且$△AEF$中有兩個內(nèi)角相等,求$∠A$的度數(shù).”嘉嘉的答案是$∠A= 40^{\circ }$,淇淇說:“嘉嘉考慮得不全而,$∠A$還應(yīng)該有另外一個值.”下列判斷正確的是 (
B
)
A.淇淇說得不對,$∠A就是40^{\circ }$
B.淇淇說得對,且$∠A的另一個值是50^{\circ }$
C.淇淇說得對,且$∠A的另一個值是55^{\circ }$
D.兩人都不對,$∠A$應(yīng)有三個不同值
答案：B
解析：
設(shè)∠A=x，∠B=90°-x。
由折疊得∠DFE=∠B=90°-x，∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED。
∵∠CFD=60°，∠C=90°，
∴∠CDF=30°，∠FDB=150°，∠FDE=∠BDE=75°。
情況1：∠AEF=∠AFE
∠AFD=180°-∠CFD=120°，∠AFE=∠AFD-∠DFE=120°-(90°-x)=30°+x。
∠AEF=∠AFE=30°+x。
在△AEF中，∠A+∠AEF+∠AFE=180°，x+2(30°+x)=180°，解得x=40°。
情況2：∠A=∠AEF
∠AFE=180°-2x。
∠AFE=∠AFD-∠DFE=30°+x，
∴180°-2x=30°+x，解得x=50°。
情況3：∠A=∠AFE
∠AFE=x，∠AFE=30°+x，x=30°+x，無解。
綜上，∠A=40°或50°。
答案：B
8. 在直角三角形ABC中,$∠A:∠B:∠C= 2:m:4$,則m的值是____
2或6
.
答案：2或6
解析：
∵∠A:∠B:∠C=2:m:4，
∴設(shè)∠A=2k，∠B=mk，∠C=4k（k＞0）。
∵三角形ABC是直角三角形，
∴分三種情況：
情況1：∠A=90°，則2k=90°，k=45°，∠C=4k=180°，不符合三角形內(nèi)角和定理，舍去；
情況2：∠B=90°，則mk=90°，2k+mk+4k=180°，即6k+90°=180°，k=15°，m=6；
情況3：∠C=90°，則4k=90°，k=22.5°，∠A=2k=45°，∠B=mk=180°-90°-45°=45°，mk=45°，m=2。
綜上，m的值是2或6。
