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零五網(wǎng) 全部參考答案 啟東中學(xué)作業(yè)本 2025年啟東中學(xué)作業(yè)本八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)人教版 第9頁解析答案
9. (2024春·泰州期中)若三角形中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍,我們把這樣的三角形稱為“和諧三角形”.已知直角$△ABC$是“和諧三角形”,則該三角形兩個(gè)銳角的度數(shù)分別為
45°,45°或30°,60°
.
答案:45°,45°或30°,60°
解析:
設(shè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為$\alpha$和$\beta$,且$\alpha + \beta = 90^\circ$。
情況一:$\alpha = 2\beta$,則$2\beta + \beta = 90^\circ$,$3\beta = 90^\circ$,$\beta = 30^\circ$,$\alpha = 60^\circ$。
情況二:$\beta = 2\alpha$,則$\alpha + 2\alpha = 90^\circ$,$3\alpha = 90^\circ$,$\alpha = 30^\circ$,$\beta = 60^\circ$(與情況一重復(fù))。
情況三:直角為另一個(gè)內(nèi)角的2倍,設(shè)其中一個(gè)銳角為$\alpha$,則$90^\circ = 2\alpha$,$\alpha = 45^\circ$,另一個(gè)銳角$\beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$。
該三角形兩個(gè)銳角的度數(shù)分別為$30^\circ, 60^\circ$或$45^\circ, 45^\circ$。
10. 如圖,在$△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AD⊥BC$于點(diǎn)D,BE平分$∠ABC$,AD、BE相交于點(diǎn)F.
(1)若$∠CAD= 36^{\circ }$,求$∠AEF$的度數(shù);
(2)試說明:$∠AEF= ∠AFE$.

答案:
(1)解:
∵AD⊥BC,
∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠ABD=∠CAD=36°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=18°,
∴∠AEF=90°-∠ABE=72°.
(2)證明:
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵∠ABE+∠AEF=90°,∠CBE+∠BFD=90°,
∴∠AEF=∠BFD,
∵∠AFE=∠BFD,
∴∠AEF=∠AFE.
11. (2024春·建湖縣期中)【定義】如果兩個(gè)角的差為$36^{\circ }$,就稱這兩個(gè)角互為“黃金角”,其中一個(gè)角叫作另一個(gè)角的“黃金角”.
例如:$α=76^{\circ },β=40^{\circ },α-β= 36^{\circ }$,則α和β互為“黃金角”,即α是β的“黃金角”,β也是α的“黃金角”.
(1)已知$∠1和∠2$互為“黃金角”,且$∠1>∠2$,若$∠1和∠2$互余,則$∠1=$
63°
.
(2)如圖①,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,過點(diǎn)C作AB的平行線CM,$∠ABC$的平分線分別交AC,CM于D,E兩點(diǎn).
①若$∠A>∠BEC$,且$∠A和∠BEC$互為“黃金角”,則$∠A=$
54°
;
②如圖②,過點(diǎn)C作AB的垂線,垂足為F,BD與CF相交于點(diǎn)N.若$∠DCN與∠CDN$互為“黃金角”,求$∠A$的度數(shù).

解:設(shè)∠DCN=x.
∵∠DCN與∠CDN互為“黃金角”,
∴∠CDN=x+36°或∠CDN=x-36°.
當(dāng)∠CDN=x+36°時(shí),
∵∠ACB=90°,
∴∠CBN=90°-∠CDN
=90°-(x+36°)
=54°-x.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBD=108°-2x.
∵CF⊥AB,
∴∠A=90°-∠DCN=90°-x.
∵∠A+∠ABC=90°,
∴90°-x+108°-2x=90°,
解得x=36°,
∴∠A=90°-36°=54°.
當(dāng)∠CDN=x-36°時(shí),
∵∠ACB=90°,
∴∠CBD=90°-∠CDN
=90°-(x-36°)
=126°-x.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBN=252°-2x.
∵CF⊥AB,
∴∠A=90°-∠DCN=90°-x.
∵∠A+∠ABC=90°,
∴90°-x+252°-2x=90°,
解得x=84°,
∴∠A=90°-84°=6°.
綜上所述,∠A=54°或∠A=6°.

答案:
(1)63°
(2)①54°
②解:設(shè)∠DCN=x.
∵∠DCN與∠CDN互為“黃金角”,
∴∠CDN=x+36°或∠CDN=x-36°.
當(dāng)∠CDN=x+36°時(shí),
∵∠ACB=90°,
∴∠CBN=90°-∠CDN
=90°-(x+36°)
=54°-x.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBD=108°-2x.
∵CF⊥AB,
∴∠A=90°-∠DCN=90°-x.
∵∠A+∠ABC=90°,
∴90°-x+108°-2x=90°,
解得x=36°,
∴∠A=90°-36°=54°.
當(dāng)∠CDN=x-36°時(shí),
∵∠ACB=90°,
∴∠CBD=90°-∠CDN
=90°-(x-36°)
=126°-x.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBN=252°-2x.
∵CF⊥AB,
∴∠A=90°-∠DCN=90°-x.
∵∠A+∠ABC=90°,
∴90°-x+252°-2x=90°,
解得x=84°,
∴∠A=90°-84°=6°.
綜上所述,∠A=54°或∠A=6°.
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