11. (2024春·建湖縣期中)【定義】如果兩個(gè)角的差為$36^{\circ }$,就稱這兩個(gè)角互為“黃金角”,其中一個(gè)角叫作另一個(gè)角的“黃金角”.
例如:$α=76^{\circ },β=40^{\circ },α-β= 36^{\circ }$,則α和β互為“黃金角”,即α是β的“黃金角”,β也是α的“黃金角”.
(1)已知$∠1和∠2$互為“黃金角”,且$∠1>∠2$,若$∠1和∠2$互余,則$∠1=$
63°
.
(2)如圖①,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,過點(diǎn)C作AB的平行線CM,$∠ABC$的平分線分別交AC,CM于D,E兩點(diǎn).
①若$∠A>∠BEC$,且$∠A和∠BEC$互為“黃金角”,則$∠A=$
54°
;
②如圖②,過點(diǎn)C作AB的垂線,垂足為F,BD與CF相交于點(diǎn)N.若$∠DCN與∠CDN$互為“黃金角”,求$∠A$的度數(shù).

解:設(shè)∠DCN=x.
∵∠DCN與∠CDN互為“黃金角”,
∴∠CDN=x+36°或∠CDN=x-36°.
當(dāng)∠CDN=x+36°時(shí),
∵∠ACB=90°,
∴∠CBN=90°-∠CDN
=90°-(x+36°)
=54°-x.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBD=108°-2x.
∵CF⊥AB,
∴∠A=90°-∠DCN=90°-x.
∵∠A+∠ABC=90°,
∴90°-x+108°-2x=90°,
解得x=36°,
∴∠A=90°-36°=54°.
當(dāng)∠CDN=x-36°時(shí),
∵∠ACB=90°,
∴∠CBD=90°-∠CDN
=90°-(x-36°)
=126°-x.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBN=252°-2x.
∵CF⊥AB,
∴∠A=90°-∠DCN=90°-x.
∵∠A+∠ABC=90°,
∴90°-x+252°-2x=90°,
解得x=84°,
∴∠A=90°-84°=6°.
綜上所述,∠A=54°或∠A=6°.