4. 已知$\triangle ACD和\triangle BCE$都是等腰直角三角形,$\angle ACD = \angle BCE = 90^{\circ}$。
【初步探索】(1) 如圖①,擺放$\triangle ACD和\triangle BCE$(點$A$,$C$,$B$在同一條直線上,點$E在CD$上),連接$AE$,$BD$,判斷線段$AE與BD$的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
【拓展延伸】(2) 如圖②,擺放$\triangle ACD和\triangle BCE$,連接$AE$,$BD$,(1) 中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由。
答案：4.解:
(1)如答圖①,延長AE交BD于點F.
在△ACE和△DCB中,{AC=DC,
∠ACE=∠DCB,
CE=CB,
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB.
∵∠CDB+∠DBC=90°,
∴∠CAE+∠DBC=90°,
∴∠AFB=90°,
∴AE⊥BD.
(2)
(1)中的結(jié)論仍然成立,AE=BD,AE⊥BD.理由如下:
如答圖②,延長AE交BD于點M,交CD于點G.
∵∠ACD=∠BCE=90°,
∴∠ACD?∠ECD=∠BCE?∠ECD,即∠ACE=∠DCB.
在△ACE和△DCB中,{AC=DC,
∠ACE=∠DCB,
CE=CB,
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB.
∵∠CAE+∠AGC=90°,∠AGC=∠DGM,
∴∠CDB+∠DGM=90°,
∴∠AMD=90°,
∴AE⊥BD.
5. 如圖①,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$AB = AC$,$AD = AE$,$\angle BAC = \angle DAE$,連接$BD$,$CE$,$BD和CE相交于點F$,若$\triangle ABC$不動,將$\triangle ADE繞點A$任意旋轉(zhuǎn)一個角度。
(1) 求證：$\triangle BAD\cong\triangle CAE$；
(2) 如圖①,若$\angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ}$,判斷線段$BD與CE$的關(guān)系,并說明理由；
(3) 如圖②,若$\angle BAC = \angle DAE = 60^{\circ}$,求$\angle BFC$的度數(shù)；
(4) 如圖③,若$\angle BAC = \angle DAE = \alpha$,直接寫出$\angle BFC$的度數(shù)(不需要說明理由)。
答案：5.
(1)證明:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,{AB=AC,
∠BAD=∠CAE,
AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)解:BD⊥CE且BD=CE.理由如下:
由
(1)知△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE.
∵∠BAC=90°,
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠BFC=90°,
∴BD⊥CE.
(3)解:由
(2)得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB,
∴∠BFC=∠BAC.
∵∠BAC=60°,
∴∠BFC=60°.
(4)解:∠BFC=α.
