1.如圖,四個圖案具有一個共有的性質(zhì),則下面四個數(shù)字中,滿足上述性質(zhì)的是 (
C
)
A.6
B.7
C.8
D.9
答案：C
2.如圖,在等腰三角形ABC中,$AB= AC,∠BAC= 40^{\circ }$,中線AD與角平分線CE交于點F,則$∠CFD$的度數(shù)為 (
B
)
A.$25^{\circ }$
B.$35^{\circ }$
C.$45^{\circ }$
D.$55^{\circ }$
答案：1. 首先，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：
因為$AB = AC$，$AD$是中線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”（等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線互相重合），所以$AD\perp BC$，即$\angle ADC = 90^{\circ}$。
又因為$AB = AC$，$\angle BAC=40^{\circ}$，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理$\angle B+\angle ACB+\angle BAC = 180^{\circ}$，且$\angle B=\angle ACB$，則$\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)$。
把$\angle BAC = 40^{\circ}$代入$\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)$，可得$\angle ACB=\frac{1}{2}(180 - 40)^{\circ}=70^{\circ}$。
2. 然后，因為$CE$是角平分線：
所以$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$（角平分線定義）。
把$\angle ACB = 70^{\circ}$代入$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$，得$\angle ECB=\frac{1}{2}×70^{\circ}=35^{\circ}$。
3. 最后，在$\triangle DFC$中：
根據(jù)三角形外角的性質(zhì)（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和），在$\triangle DFC$中，$\angle CFD+\angle FCD=\angle ADC$。
已知$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle FCD=\angle ECB = 35^{\circ}$，則$\angle CFD=\angle ADC-\angle FCD$。
所以$\angle CFD=90^{\circ}-35^{\circ}=35^{\circ}$。
綜上，答案是B。
解析：
在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°。
∵CE是角平分線，
∴∠ACE=∠ACB/2=35°。
∵AD是中線，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，∠BAD=∠CAD=40°/2=20°。
在△AFC中，∠AFC=180°-∠CAD-∠ACE=180°-20°-35°=125°。
∵∠CFD+∠AFC=180°，
∴∠CFD=180°-125°=55°。
D
3.如圖,在$\triangle ABC$中,E是BC上一點,$AE= AB$,EF垂直平分AC,$AD⊥BC$于點D.若$\triangle ABC$的周長為18 cm,$AC= 7cm$,則DC的長為 (
C
)
A.4.5 cm
B.5 cm
C.5.5 cm
D.6 cm
答案：C
4.(2024春·牡丹區(qū)期末)如圖,在正方形網(wǎng)格內(nèi),A,B兩點都在小正方形的頂點上,如果點C也是圖中小正方形的頂點,且$\triangle ABC$是等腰三角形,那么點C的個數(shù)為 (
C
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：
以A為頂點：AB為腰，在網(wǎng)格中找到與B關(guān)于A對稱或滿足AC=AB的點，無符合條件的點。
以B為頂點：BA為腰，同理，無符合條件的點。
以C為頂點：CA=CB，作AB的垂直平分線，與網(wǎng)格頂點交于3個點。
綜上，點C的個數(shù)為3。
C
5.若點$P(m-1,5)與點Q(3,2-n)$關(guān)于y軸對稱,則$m+n$的值是
?5
.
答案：?5
解析：
因為點$P(m - 1,5)$與點$Q(3,2 - n)$關(guān)于$y$軸對稱，所以橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等。
可得：$m - 1 = -3$，$2 - n = 5$。
由$m - 1 = -3$，解得$m = -3 + 1 = -2$。
由$2 - n = 5$，解得$n = 2 - 5 = -3$。
則$m + n = -2 + (-3) = -5$。
$-5$
6.已知等腰三角形的兩邊長分別為x和y,且x和y滿足$|x-3|+(y-1)^{2}= 0$,則這個等腰三角形的周長為
7
.
答案：7
解析：
因為$|x - 3| + (y - 1)^2 = 0$，絕對值和平方數(shù)具有非負性，所以$x - 3 = 0$，$y - 1 = 0$，解得$x = 3$，$y = 1$。
等腰三角形的兩邊長為$3$和$1$，分兩種情況：
當腰長為$1$時，三邊長為$1$，$1$，$3$。因為$1 + 1 = 2 ＜ 3$，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，所以這種情況不成立。
當腰長為$3$時，三邊長為$3$，$3$，$1$。因為$3 + 1 = 4 ＞ 3$，$3 + 3 = 6 ＞ 1$，滿足三角形三邊關(guān)系，此時周長為$3 + 3 + 1 = 7$。
7
7.如圖,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,AD⊥BC$于點D,$DE⊥AC$于點E,$CF⊥AB$于點F.若$DE= 4$,則CF的長為______
8
.
答案：8
解析：
連接DF，設(shè)AB=AC=2a。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，∠BAD=∠CAD。
∵DE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AED=∠AFC=90°。
在△ADE和△AFC中，∠DAE=∠CAF，∠AED=∠AFC，
∴△ADE∽△AFC，$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{AC}$。
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴△ADE∽△ACD，$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，即$AD^2=AE\cdot AC$。
設(shè)AE=x，則$AD^2=2a\cdot x$。
在Rt△ADE中，$AD^2=AE^2+DE^2=x^2+16$，
∴$2a\cdot x=x^2+16$。
又
∵S△ADC=$\frac{1}{2}AD\cdot DC=\frac{1}{2}AC\cdot DE$，$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{4a^2-(x^2+16)}$，
$\frac{1}{2}AD\cdot DC=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 4=4a$，即$AD\cdot DC=8a$。
$AD^2\cdot DC^2=64a^2$，$(x^2+16)(4a^2-x^2-16)=64a^2$。
由$2a\cdot x=x^2+16$得$x=\frac{x^2+16}{2a}$，代入上式化簡得$a=2x$。
則$AD^2=2a\cdot x=4x^2$，$AD=2x$。
在Rt△ADE中，$AD^2=AE^2+DE^2$，$4x^2=x^2+16$，$x^2=\frac{16}{3}$，$AD=2x=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，$AC=2a=4x=\frac{16\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴CF=2DE=8。
8
8.如圖,在$\triangle ABC$中,AD平分$∠BAC,CD⊥AD$.若$∠ABC與∠ACD$互補,$CD= 5$,則BC的長為
10
.
答案：10
解析：
延長CD交AB于點E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD。
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°。
在△ADE和△ADC中，
∠EAD=∠CAD，AD=AD，∠ADE=∠ADC，
∴△ADE≌△ADC(ASA)。
∴DE=CD=5，∠AED=∠ACD。
∴CE=CD+DE=10。
∵∠ABC與∠ACD互補，∠AED=∠ACD，
∴∠ABC+∠AED=180°。
∵∠AED+∠BEC=180°，
∴∠ABC=∠BEC。
∴BC=CE=10。
10
9.如圖,在銳角三角形ABC中,$∠A= 30^{\circ },BC= 3,S_{\triangle ABC}= 8$,P是邊BC上的一動點,點P關(guān)于直線AB,AC的對稱點分別是M,N,連接MN,則MN的最小值為______
$\frac{16}{3}$
.
答案：$\frac{16}{3}$
解析：
連接AM、AN、AP，過點B作BD⊥AC于點D。
在Rt△ABD中，∠A=30°，設(shè)BD=h，則AB=2h。
S△ABC=$\frac{1}{2}×AC×BD$=8，即$\frac{1}{2}×AC×h$=8，得AC×h=16。
點P關(guān)于AB、AC的對稱點為M、N，
∴AM=AP，AN=AP，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC。
∠MAN=∠MAB+∠PAB+∠NAC+∠PAC=2(∠PAB+∠PAC)=2∠BAC=60°。
∴△AMN是等邊三角形，MN=AM=AP。
當AP⊥BC時，AP最小。
S△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AP$=8，BC=3，
∴$\frac{1}{2}×3×AP$=8，AP=$\frac{16}{3}$。
MN的最小值為$\frac{16}{3}$。
