1. 如圖,以$\triangle ABC的邊AB$,$AC$為邊,向外作等邊三角形$ABD和等邊三角形ACE$,連接$BE$,$CD$,相交于點$F$。
(1) 求證：$\triangle DAC\cong\triangle BAE$；
(2) 求證：$BE = DC$；
(3) 求$\angle DFE$的度數(shù)。
答案：1.
(1)證明:
∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，
∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中,{AD=AB,
∠DAC=∠BAE,
AC=AE,
∴△DAC≌△BAE(SAS).
(2)證明:由
(1)知△DAC≌△BAE,
∴BE=DC.
(3)解:由
(1)知△DAC≌△BAE,
∴∠ACD=∠AEB,
則∠DFE=∠FEC+∠FCE=∠FEC+∠ACD+∠ACE=∠FEC+∠AEB+∠ACE=∠AEC+∠ACE=120°.
2. (1) 如圖①,已知$\triangle ABC$為等邊三角形,$D為邊BC$上一動點(不與點$B$,$C$重合),以$AD為邊向右側(cè)作等邊三角形ADE$,連接$CE$,求證：$\triangle ABD\cong\triangle ACE$；
(2) 如圖②,若點$D在邊BC$的延長線上,隨著動點$D$的位置不同,猜想并證明$AB與CE的位置關(guān)系及線段EC$,$AC$,$CD$之間的數(shù)量關(guān)系。
答案：2.
(1)證明:
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,{AB=AC,
∠BAD=∠CAE,
AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解:AB//CE,EC=AC+CD.證明如下:
由
(1)得△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE=60°,CE=BD.
∵∠B=∠BAC,
∴∠BAC=∠ACE,
∴AB//CE.
∵CE=BD,AC=BC,
∴CE=BD=BC+CD=AC+CD.
3. 如圖,分別以$\triangle ABC的邊AB$,$AC為邊向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE$,$\angle BAD = 90^{\circ}$,$\angle CAE = 90^{\circ}$。
(1) 如圖①,連接$BE$,$CD$,求證：$BE = CD$；
(2) 如圖②,連接$DE$,求證：$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADE}$。
答案：3.證明:
(1)
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB.
在△CAD和△EAB中,{AC=AE,
∠CAD=∠EAB,
AD=AB,
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴BE=CD.
(2)如答圖,作DG⊥EA交EA的延長線于點G,BH⊥AC于點H,則∠AGD=∠AHB=90°.
∵∠CAE=90°,
∴∠CAG=90°=∠BAD,
∴∠DAG=∠BAH.
在△ADG和△ABH中，{∠AGD=∠AHB,
∠DAG=∠BAH,
AD=AB,
∴△ADG≌△ABH(AAS),
∴DG=BH.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BH,S△ADE=$\frac{1}{2}$AE·DG,
∴S△ABC=S△ADE.
