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1. 如圖,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是BC$的中點,$E$,$F分別是AB$,$AC$上的點,且$AE = AF$. 求證：$DE = DF$.

答案：
證明:如答圖，連接AD.
∵AB = AC，D是BC的中點，
∴∠EAD = ∠FAD.
在△AED和△AFD中，{AE = AF，∠EAD = ∠FAD，AD = AD}
∴△AED≌△AFD(SAS)，
∴DE = DF;

2. 如圖,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = \angle B$,$D是AB$的中點,點$E在邊AC$上,點$F在邊BC$上,且$AE = CF$. 求證：$DE = DF$.

答案：
證明:如答圖，連接DC.
∵∠A = ∠B，
∴BC = AC.
∵∠BCA = 90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
∵D為AB的中點，
∴BD = CD = AD，CD平分∠BCA，CD⊥AB.
∵∠A + ∠ACD = ∠ACD + ∠FCD = 90°，
∴∠A = ∠FCD.
在△ADE和△CDF中，{AE = CF，∠A = ∠FCD，AD = CD}
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴DE = DF.

3. 如圖,在$\triangle ABC$中,$\angle B = \angle C$,過$BC的中點D作DE \perp AB$,$DF \perp AC$,垂足分別為$E$,$F$.
(1) 求證：$DE = DF$；
(2) 若$\angle BDE = 40^{\circ}$,求$\angle BAC$的度數(shù).

答案：

(1)證明:如答圖，連接AD.
∵∠B = ∠C，
∴AB = AC;
∵D為BC的中點，
∴∠BAD = ∠CAD.
在△ADE和△ADF中，{∠EAD = ∠FAD，∠DEA = ∠DFA，AD = AD}
∴△ADE≌△ADF(AAS)，
∴DE = DF;

(2)解:
∵∠BDE = 40°，
∴∠B = 50°，
∴∠C = 50°，
∴∠BAC = 180°?∠B?∠C = 80°.

4. 如圖,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,點$D$,$E$,$F分別在BC$,$AB$,$AC$上,且$BD = CF$,$BE = CD$,$G是EF$的中點. 求證：$DG \perp EF$.

答案：
證明:如答圖,連接ED，DF;
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C;
在△BED和△CDF中，{BE = CD，∠B = ∠C，BD = CF}
∴△BED≌△CDF(SAS)，
∴DE = DF.
∵G是EF的中點，
∴DG⊥EF;

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