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Question 1

8. 如圖,$\triangle ABC$為等邊三角形,$AE = CD$,$AD$,$BE相交于點(diǎn)P$。
(1)求證：$\triangle ABE \cong \triangle CAD$；
(2)求$\angle BPD$的度數(shù)；
(3)若$BQ \perp AD于點(diǎn)Q$,$PQ = 6$,$PE = 2$,求$AD$的長(zhǎng)。

Answer

答案：
(1)證明:
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
　在△ABE和△CAD中,AB=CA,
　∠BAE=∠C,
　AE=CD,
∴△ABE≌△CAD(SAS).
(2)解:
∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD,
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP,
　即∠BPD=∠BAC=60°.
(3)解:
∵BQ⊥AD,
∴∠BQP=90°,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ=12,
∴BE=BP+PE=12+2=14.
∵△ABE≌△CAD,
∴AD=BE=14.

Question 2

9. 已知$\triangle ABC$為等邊三角形,$AD為\triangle ABC$的角平分線,動(dòng)點(diǎn)$E在直線AD$上(不與點(diǎn)$A$重合),連接$BE$。以$BE為一邊在BE的下方作等邊三角形BEF$,連接$CF$。
(1)如圖①,若點(diǎn)$E在線段AD$上,且$DE = BD$,則$\angle CBF$的度數(shù)是______

15°

。
(2)如圖②,若點(diǎn)$E在AD$的反向延長(zhǎng)線上,且直線$AE$,$CF交于點(diǎn)M$。
①求$\angle AMC$的度數(shù)；
②若$\triangle ABC的邊長(zhǎng)為8$,$P$,$Q為直線CF$上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且$PQ = 10$,連接$BP$,$BQ$。$\triangle BPQ$的面積是否為定值？若是,請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。

(2)解:①
∵△ABC,△BEF都是等邊三角形,
∴∠ABC=∠EBF=60°,BA=BC,BE=BF,
∴∠ABE=∠CBF,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴∠BAE=∠BCF;
∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BCF=150°,
∴∠DCM=180°?150°=30°.
∵∠CDM=90°,
∴∠AMC=90°?30°=60°.
?、凇鰾PQ的面積是定值，定值為20.求解如下:
　過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CM于點(diǎn)H,如答圖.
　在Rt△CBH中,CB=8,∠BCH=30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=4,
∴△BPQ的面積=$\frac{1}{2}$PQ·BH=$\frac{1}{2}$×10×4=20.

Answer

答案：
(1)15°
(2)解:①
∵△ABC,△BEF都是等邊三角形,
∴∠ABC=∠EBF=60°,BA=BC,BE=BF,
∴∠ABE=∠CBF,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴∠BAE=∠BCF;
∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BCF=150°,
∴∠DCM=180°?150°=30°.
∵∠CDM=90°,
∴∠AMC=90°?30°=60°.
?、凇鰾PQ的面積是定值，定值為20.求解如下:
　過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CM于點(diǎn)H,如答圖.
　在Rt△CBH中,CB=8,∠BCH=30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=4,
∴△BPQ的面積=$\frac{1}{2}$PQ·BH=$\frac{1}{2}$×10×4=20.