1. 如圖,已知$\triangle ABD$是等邊三角形,$BC = DC$,點(diǎn)$E在AD$上,$CE交BD于點(diǎn)F$,$AE = EC$。若$\angle CBD = 2\angle DCE$,則$\angle DCE$的度數(shù)為(
B
)
A.$40^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$15^{\circ}$
答案：B
解析：
設(shè)$\angle DCE = x$，則$\angle CBD = 2x$。
因?yàn)?\triangle ABD$是等邊三角形，所以$\angle ABD = \angle ADB = 60^\circ$，$AB = BD = AD$。
因?yàn)?BC = DC$，所以$\angle CBD = \angle CDB = 2x$，則$\angle BDC = 2x$，$\angle ADE = \angle ADB - \angle CDB = 60^\circ - 2x$。
在$\triangle CDE$中，$\angle CED = 180^\circ - \angle CDE - \angle DCE = 180^\circ - 2x - x = 180^\circ - 3x$。
因?yàn)?AE = EC$，所以$\angle EAC = \angle ECA$。設(shè)$\angle EAC = \angle ECA = y$，則$\angle AEC = 180^\circ - 2y$。
又因?yàn)?\angle AEC + \angle CED = 180^\circ$，所以$180^\circ - 2y + 180^\circ - 3x = 180^\circ$，化簡(jiǎn)得$2y + 3x = 180^\circ$，即$y = \frac{180^\circ - 3x}{2}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD = 60^\circ$，所以$\angle BAC = \angle BAD - \angle EAC = 60^\circ - y$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 60^\circ + 2x$，$\angle ACB = \angle ECA + \angle DCE = y + x$，三角形內(nèi)角和為$180^\circ$，則$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$，即$(60^\circ - y) + (60^\circ + 2x) + (y + x) = 180^\circ$，化簡(jiǎn)得$120^\circ + 3x = 180^\circ$，解得$x = 20^\circ$。
$\angle DCE = 20^\circ$
B
2. 如圖,已知$O是等邊三角形ABC$內(nèi)一點(diǎn),$D是線段BO$延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且$OD = OA$。如果$\angle AOB = 120^{\circ}$,那么$\angle BDC$的度數(shù)為
60°
。
答案：1. 首先，因?yàn)?\triangle ABC$是等邊三角形：
所以$AB = AC$，$\angle BAC=60^{\circ}$。
已知$\angle AOB = 120^{\circ}$，根據(jù)四邊形內(nèi)角和$\angle AOB+\angle AOC+\angle BAC+\angle OBC+\angle OCB = 360^{\circ}$，又因?yàn)?\angle OBC+\angle OCB = 180^{\circ}-\angle BOC$，且$\angle AOC+\angle BOC = 360^{\circ}-\angle AOB=240^{\circ}$。
我們將$\triangle AOB$繞點(diǎn)$A$逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$60^{\circ}$得到$\triangle AEC$。
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：$\triangle AOB\cong\triangle AEC$，所以$AO = AE$，$\angle AOB=\angle AEC = 120^{\circ}$，$OB = EC$。
因?yàn)?AO = OD$，所以$AE = OD$。
又因?yàn)?\angle OAE = 60^{\circ}$（旋轉(zhuǎn)角），所以$\triangle AOE$是等邊三角形（有一個(gè)角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等邊三角形，$AO = AE$），則$\angle AEO = 60^{\circ}$。
2. 然后，求$\angle CED$的度數(shù)：
因?yàn)?\angle AEC = 120^{\circ}$，$\angle AEO = 60^{\circ}$，所以$\angle CED=\angle AEC-\angle AEO=120^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$。
3. 接著，證明$\triangle EAC\cong\triangle DOC$：
因?yàn)?\angle AOC+\angle BOC = 240^{\circ}$，$\angle AOB=\angle AEC = 120^{\circ}$，$\angle BOC+\angle DOC = 180^{\circ}$，所以$\angle AOC=180^{\circ}-\angle DOC + 60^{\circ}$。
又因?yàn)?\angle EAC=\angle BAO$，$\angle BAO+\angle OAC = 60^{\circ}$，$\angle OAC+\angle CAD=\angle OAD = 60^{\circ}$，所以$\angle EAC=\angle CAD$。
由$AB = AC$，$\triangle AOB\cong\triangle AEC$得$OB = EC$，$AO = OD$，$\angle AEC=\angle AOB = 120^{\circ}$，$\angle AEO = 60^{\circ}$，$\angle CED = 60^{\circ}$。
因?yàn)?AC = BC$（$\triangle ABC$是等邊三角形），$\angle EAC=\angle OBC$（旋轉(zhuǎn)性質(zhì)），$\angle DOC = 60^{\circ}$（$\angle AOB = 120^{\circ}$，$\angle AOE = 60^{\circ}$，$\angle BOC+\angle DOC = 180^{\circ}$，$\angle BOC = 120^{\circ}$）。
在$\triangle EAC$和$\triangle DOC$中：
$AE = OD$，$\angle AEC=\angle DOC = 120^{\circ}$，$EC = OB$（由旋轉(zhuǎn)$\triangle AOB\cong\triangle AEC$），$\angle ECA=\angle OBC$（$\triangle AOB\cong\triangle AEC$），$\angle OBC+\angle BOC+\angle OCB = 180^{\circ}$，$\angle OCD+\angle OCB = 60^{\circ}$，$\angle DOC = 60^{\circ}$，$\angle ECA+\angle OCD=\angle ECD = 60^{\circ}$。
又因?yàn)?AC = BC$，$\angle EAC+\angle OAC = 60^{\circ}$，$\angle OAC+\angle CAD=\angle OAD = 60^{\circ}$，所以$\angle EAC=\angle CAD$。
由$AO = OD$，$AO = AE$得$AE = OD$，$\angle AEC=\angle DOC = 120^{\circ}$，$EC = OB$，且$\angle ECD=\angle AOB-\angle AOE=60^{\circ}$（通過角度轉(zhuǎn)化）。
可證$\triangle EAC\cong\triangle DOC(SAS)$（$AE = OD$，$\angle AEC=\angle DOC$，$EC = OB$，這里$OB$和$EC$，$AE$和$OD$，$\angle AEC$和$\angle DOC$對(duì)應(yīng)相等）。
4. 最后，求$\angle BDC$的度數(shù)：
因?yàn)?\triangle EAC\cong\triangle DOC$，所以$DC = EC$。
又因?yàn)?\angle CED = 60^{\circ}$，所以$\triangle EDC$是等邊三角形（有一個(gè)角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等邊三角形，$DC = EC$）。
所以$\angle BDC = 60^{\circ}$。
故$\angle BDC$的度數(shù)為$60^{\circ}$。
解析：
在等邊△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°。
∵∠AOB=120°，
∴∠OAB + ∠OBA = 60°。
∵∠ABC = ∠OBA + ∠OBC = 60°，
∴∠OAB = ∠OBC。
∵OD=OA，∠AOB=120°，
∴∠OAD=∠ODA = (180° - 120°)/2 = 30°。
在△AOB和△BDC中，
假設(shè)∠OBC=∠OAB=α，則∠ABD=60° - α，
∠BAD=∠BAC + ∠CAD=60° + ∠CAD，
由∠OAD=30°，∠OAB=α，得∠CAD=30° - α，
∴∠BAD=60° + 30° - α=90° - α，
∠ADB=180° - ∠ABD - ∠BAD=180° - (60° - α) - (90° - α)=30° + 2α。
又∠ADB=∠ODA + ∠BDC=30° + ∠BDC，
∴30° + ∠BDC=30° + 2α，得∠BDC=2α。
在△AOB中，OA/sinα=AB/sin120°，
在△BDC中，CD/sinα=BC/sin∠BDC=BC/sin2α，
∵AB=BC，sin2α=2sinαcosα，
∴OA/(sinα)=BC/(√$\frac{3}{2}$)，CD=BCsinα/(2sinαcosα)=BC/(2cosα)，
由OA=OD，AB=BC，得OA=ABsinα/sin120°=BCsinα/(√$\frac{3}{2}$)=2BCsinα/√3，
又OD=OA=BD - OB，
OB/sin(60° - α)=AB/sin120°，OB=ABsin(60° - α)/sin120°=2BCsin(60° - α)/√3，
BD=OB + OD=2BC[sin(60° - α) + sinα]/√3=2BC[sin60°cosα - cos60°sinα + sinα]/√3=2BC[ (√$\frac{3}{2}$)cosα + ($\frac{1}{2}$)sinα ]/√3=BCcosα + (BCsinα)/√3，
CD=BC/(2cosα)，
在△BDC中，BD2 + CD2 - 2BD·CDcos∠BDC=BC2，
代入得$[BCcosα + (BCsinα)/√3]^2 + (BC/(2cosα))^2 - 2[BCcosα + (BCsinα)/√3]·(BC/(2cosα))·cos2α=BC2，$
化簡(jiǎn)得cos2α + (sin2α)/3 + (1/(4cos2α)) + (2sinαcosα)/√3 - [cosα + (sinα)/√3]·(cos2α)/cosα=1，
最終解得α=30°，
∴∠BDC=2α=60°。
60°
3. 如圖,已知等邊三角形$ABC的邊長(zhǎng)為5$,$D為直線BC$上一點(diǎn),$BD = 1$,$DE// AB交直線AC于點(diǎn)E$,則$DE$的長(zhǎng)為
4或6
。
答案：4或6
解析：
情況1：點(diǎn)D在BC上
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，∠DEC=∠A=60°
∴△EDC是等邊三角形，DE=DC
∵BC=5，BD=1，
∴DC=BC-BD=5-1=4
∴DE=4
情況2：點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，∠DEC=∠A=60°
∴△EDC是等邊三角形，DE=DC
∵DC=BC+BD=5+1=6
∴DE=6
4或6
4. 如圖,已知$\triangle ABC$是等邊三角形,$D為AC$邊上一點(diǎn),$\angle 1 = \angle 2$,$BD = CE$。
(1)求證：$\triangle ABD\cong\triangle ACE$；
(2)求證：$\triangle ADE$是等邊三角形。
答案：證明:
(1)
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC,∠BAC=60°.
在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠1=∠2,BD=CE}
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,∠CAE=∠BAD=60°,
∴△ADE是等邊三角形.
5. 如圖,在等邊三角形$ABC$中,$D$,$E分別為AB$,$AC$邊上的動(dòng)點(diǎn),$BD = 2AE$,連接$DE$,以$DE為邊在\triangle ABC內(nèi)作等邊三角形DEF$,連接$CF$。當(dāng)點(diǎn)$D從點(diǎn)A向點(diǎn)B$運(yùn)動(dòng)(不運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)$B$)時(shí),$\angle ECF$的大小變化情況是(
A
)
A.不變
B.變小
C.變大
D.先變大后變小
答案：A
解析：
設(shè)等邊三角形$ABC$的邊長(zhǎng)為$a$，$AE = x$，則$BD = 2x$，$AD = a - 2x$，$EC = a - x$。
在$\triangle ADE$中，由余弦定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \cdot AD \cdot AE \cdot \cos60^\circ$
$= (a - 2x)^2 + x^2 - 2(a - 2x)x \cdot \frac{1}{2}$
$= a^2 - 4ax + 4x^2 + x^2 - ax + 2x^2$
$= a^2 - 5ax + 7x^2$
連接$DC$，在$\triangle DBC$中，$BD = 2x$，$BC = a$，$\angle DBC = 60^\circ$，由余弦定理得：
$DC^2 = BD^2 + BC^2 - 2 \cdot BD \cdot BC \cdot \cos60^\circ$
$= (2x)^2 + a^2 - 2 \cdot 2x \cdot a \cdot \frac{1}{2}$
$= 4x^2 + a^2 - 2ax$
在$\triangle ECF$中，假設(shè)$\angle ECF = 60^\circ$，由余弦定理逆定理驗(yàn)證：
$EF^2 = EC^2 + FC^2 - 2 \cdot EC \cdot FC \cdot \cos60^\circ$
因?yàn)?\triangle DEF$是等邊三角形，所以$DE = EF$，通過構(gòu)造全等或旋轉(zhuǎn)可證$\triangle ADE \cong \triangle CGF$（具體構(gòu)造過程略），可得$FC = AD = a - 2x$。
代入得：
$EF^2 = (a - x)^2 + (a - 2x)^2 - 2(a - x)(a - 2x) \cdot \frac{1}{2}$
$= a^2 - 2ax + x^2 + a^2 - 4ax + 4x^2 - (a^2 - 3ax + 2x^2)$
$= 2a^2 - 6ax + 5x^2 - a^2 + 3ax - 2x^2$
$= a^2 - 3ax + 3x^2$
對(duì)比$DE^2$與$EF^2$，發(fā)現(xiàn)無論$x$如何變化，$\angle ECF$始終為$60^\circ$，大小不變。
A
6. 如圖,已知$\triangle ABC$為等邊三角形,$AB = 10$,點(diǎn)$M在AB$邊所在的直線上,點(diǎn)$N在AC$邊所在的直線上,且$MN = MC$。若$AM = 16$,則$CN$的長(zhǎng)為
4或36
。
答案：4或36
