7. 已知$\triangle ABC$是等邊三角形,$D是邊AB$上一點(diǎn),$E是CB$延長(zhǎng)線上一點(diǎn),$DC = DE$。
(1)如圖①,若$D是AB$的中點(diǎn),求證：$BE = AD$；
(2)如圖②,若$D是AB$上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)$A$,$B$重合),$BE = AD$還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。
答案：(1)證明:
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°,AC=BC;
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴∠CDB=90°,∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∵DC=DE,
∴∠E=∠DCB=30°.
∵∠EDB=∠ABC?∠E=30°,
∴∠EDB=∠E=30°,
∴BE=BD.
∵BD=AD,
∴BE=AD.
(2)解:BE=AD還成立.理由如下:
過(guò)點(diǎn)D作DF//CB,交AC于點(diǎn)F,如答圖.
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,
∴∠ABE=180°?∠ABC=120°,
∵DF//BC,
∴∠ADF=∠ABC=60°,∠AFD=∠ACB=60°,
∴∠CFD=180°?∠AFD=120°,
∴∠ABE=∠CFD=120°.
∵∠A=∠ADF=∠AFD=60°,
∴△ADF是等邊三角形,
∴AD=DF.
∵DE=DC,
∴∠E=∠DCE;
∵DF//BC,
∴∠DCB=∠FDC,
∴∠E=∠FDC,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴BE=DF,
∴BE=AD.
8. (2024 春·上海期末)如圖,$B是線段AE$上一點(diǎn),$AB = 3BE$,$\triangle ABC與\triangle BDE$都是等邊三角形,連接$AD$,$CE交于點(diǎn)P$,過(guò)點(diǎn)$B作BG\perp AD$,$BH\perp CE$,垂足分別為$G$,$H$,連接$GH$。如果$\triangle ABC的面積是S$,$AD的長(zhǎng)是a$,求$GH$的長(zhǎng)。(用含字母$S和a$的代數(shù)式表示)
答案：解:
∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，
∴AB=CB,∠ABC=60°,BD=BE,∠DBE=60°,
∴∠CBD=180°?∠ABC?∠DBE=60°,
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=120°,∠CBE=∠CBD+∠DBE=120°,即∠ABD=∠CBE;
在△ABD和△CBE中，{AB=CB,∠ABD=∠CBE,BD=BE}
∴△ABD≌△CBE(SAS),
∴∠BAD=∠BCE,AD=CE=a.
∵BG⊥AD,BH⊥CE,
∴∠AGB=∠CHB=90°.
在△ABG和△CBH中，{∠AGB=∠CHB=90°,∠BAG=∠BCH,AB=CB}
∴△ABG≌△CBH(AAS),
∴BG=BH,∠ABG=∠CBH,
∴∠ABC+∠CBG=∠CBD+∠DBH.
∵∠ABC=∠CBD=60°,
∴∠CBG=∠DBH,
∴∠GBH=∠GBD+∠DBH=∠GBD+∠CBG=∠CBD=60°,
∴△BGH為等邊三角形,
∴GH=BH=BG,
∴S△CBE=$\frac{1}{2}$CE·BH=$\frac{1}{2}$a·GH.
∵AB=3BE,△ABC的面積是S,
∴S△ABC=3S△CBE,即S=3×$\frac{1}{2}$a·GH,
∴GH=$\frac{2S}{3a}$.
9. $\triangle ABC$為等邊三角形,$D為射線BC$上一點(diǎn),$\angle ADE = 60^{\circ}$,$DE與\triangle ABC的外角平分線交于點(diǎn)E$。
(1)如圖①,若點(diǎn)$D在邊BC$上,求證：$CA = CD + CE$；
(2)如圖②,若點(diǎn)$D在邊BC$的延長(zhǎng)線上,寫出$CA$,$CD$,$CE$之間的數(shù)量關(guān)系并證明。
答案：(1)證明:如答圖①,在CA上截取CM=CD,連接DM.
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∴△CDM是等邊三角形，
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°,
∴∠AMD=120°.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠MDC,
∴∠ADM=∠EDC.
∵DE與△ABCの外角平分線交于點(diǎn)E,
∴∠ACE=60°,
∴∠DCE=120°=∠AMD.
在△ADM和△EDC中，{∠ADM=∠EDC,MD=CD,∠AMD=∠ECD}
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AM=CE,
∴CA=CM+AM=CD+CE.
(2)解:CA=CE?CD.證明如下:
如答圖②,在AC的延長(zhǎng)線上截取CM=CD,連接DM.
∵△ABCは等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠DCM=60°,
∴△CDMは等邊三角形，
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°.
∵DE與△ABCの外角平分線交于點(diǎn)E,
∴∠ACE=∠DCE=60°,
∴∠ECD=∠AMD.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠CDM,
∴∠ADM=∠EDC;
在△ADM和△EDC中，{∠ADM=∠EDC,MD=CD,∠AMD=∠ECD}
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AM=EC,
∴CA=AM?CM=CE?CD.
