8. 如圖,在$Rt△ABC$中,$∠B= 90^{\circ }$,以點(diǎn)A為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,再分別以點(diǎn)D,E為圓心,大于$\frac {1}{2}DE$的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)F,作射線AF交邊BC于點(diǎn)G,若$BG= 1,AC= 4$,則$△ACG$的面積是______
2
.
答案：2
解析：
過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H。
由作圖步驟可知，AF是∠BAC的平分線。
因?yàn)椤螧=90°，所以GB⊥AB。
又因?yàn)镚H⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得GH=BG=1。
所以△ACG的面積為$\frac{1}{2}×AC×GH=\frac{1}{2}×4×1=2$。
2
9. 如圖,在$△ABC和△CDE$中,$∠ACB= ∠DCE= 90^{\circ },AC= BC,CD= CE$.連接BD,AE,交于點(diǎn)F,連接CF.以下四個(gè)結(jié)論:①$BD= AE$;②$BD⊥AE$;③$∠AEC+∠DBC= 45^{\circ }$;④FC平分$∠BFE$,其中正確的是______.(填序號(hào))
①②④
答案：①②④
10. (25分)如圖,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上,$∠ADC= ∠AEB= 90^{\circ }$,BE,CD相交于點(diǎn)O,連接AO,$OB= OC$.求證:$∠1= ∠2$.小虎同學(xué)的證明過程如下:
證明:$\because ∠ADC= ∠AEB= 90^{\circ },$
$\therefore ∠DOB+∠B= ∠EOC+∠C= 90^{\circ }.$
$\because ∠DOB= ∠EOC,$
$\therefore ∠B= ∠C$. ……第一步
又$OA= OA,OB= OC,$
$\therefore △ABO\cong △ACO$. ……第二步
$\therefore ∠1= ∠2$. ……第三步
(1)小虎同學(xué)的證明過程中,第
二
步出現(xiàn)錯(cuò)誤;
(2)請(qǐng)寫出正確的證明過程.
證明:
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°.在△DOB和△EOC中,{∠BDO=∠CEO,∠DOB=∠EOC,OB=OC,
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中,{OA=OA,OD=OE,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.
答案：
(1)二
(2)證明:
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°.在△DOB和△EOC中,{∠BDO=∠CEO,∠DOB=∠EOC,OB=OC,
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中,{OA=OA,OD=OE,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.
11. (25分)已知$△ABC和△ADE$均為等腰三角形,且$∠BAC= ∠DAE,AB= AC,AD= AE$.
(1)如圖①,若點(diǎn)E在BC上,求證:$BC= BD+BE$;
(2)如圖②,若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上,求證:$BC= BD-BE$.
答案：
(1)
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠DAB=∠EAC.又
∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴BD=CE,
∴BC=BE+CE=BD+BE.
(2)
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB,即∠DAB=∠EAC.又
∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴BD=CE,
∴BC=CE-BE=BD-BE.
