1. 閱讀教材第 54 頁《公理化方法》,解決下列問題：
在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中,公理化方法有著舉足輕重的地位. 公理化方法是從盡可能少的基本概念和一組不加證明的原始命題(公理或公設(shè))出發(fā),應(yīng)用嚴(yán)格的邏輯推理,推導(dǎo)出其余的命題,使某一數(shù)學(xué)分支成為演繹系統(tǒng)的一種方法. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得運用公理化方法,從 5 個公理、5 個公設(shè)和一些基本定義出發(fā),建立了“幾何大廈”——歐氏幾何.
在歐氏幾何中,第五公設(shè)為：同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交,如果在某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于 $180^{\circ}$,那么這兩條直線無限延長后在這一側(cè)相交. 后來,數(shù)學(xué)家們對第五公設(shè)進行了探索,誕生了非歐幾何. 不同幾何體系中三角形內(nèi)角和有所不同：歐氏幾何中,三角形的內(nèi)角和等于 $180^{\circ}$；雙曲幾何中,三角形的內(nèi)角和小于 $180^{\circ}$；球面幾何中,三角形的內(nèi)角和大于 $180^{\circ}$.
(1)在歐氏幾何中,我們學(xué)習(xí)過三角形內(nèi)角和定理的證明,其證明過程是基于一些公理、定理以及已有的定義,通過邏輯推理得出的. 請寫出歐氏幾何中證明三角形內(nèi)角和為 $180^{\circ}$ 的一種方法. (要求簡單說明思路)
(2)小明說：“既然不同幾何體系中三角形內(nèi)角和不一樣,那歐氏幾何中的三角形內(nèi)角和定理就不正確了.”你同意小明的觀點嗎？請結(jié)合材料說明理由.
(3)公理化方法對數(shù)學(xué)發(fā)展有著重要意義. 請你結(jié)合材料,簡要闡述公理化方法的作用.
答案：1.解:
(1)證明思路:過三角形的一個頂點作其對邊的平行線.例如,如答圖，過△ABC的頂點A作直線EF//BC,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等，可得∠B=∠EAB,∠C=∠FAC,又因為∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的定義),所以∠B+∠BAC+∠C=180°,即三角形內(nèi)角和為180°.
(2)不同意.理由:歐氏幾何是在其特定的公理、公設(shè)和基本定義的基礎(chǔ)上，通過嚴(yán)格邏輯推理建立起來的演繹系統(tǒng).在歐氏幾何的體系中，三角形內(nèi)角和等于180°是經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)證明的定理，是正確的.不同的幾何體系有著不同的公理、公設(shè)等基礎(chǔ)，所以三角形內(nèi)角和情況不同，但不能因此說歐氏幾何中的三角形內(nèi)角和定理不正確.
(3)公理化方法的作用有:可以將知識整理在一個嚴(yán)密的系統(tǒng)中，使數(shù)學(xué)分支成為演繹系統(tǒng);能夠從基本概念和原始命題出發(fā)，推導(dǎo)出眾多的結(jié)論，形成公理體系;推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，如歐幾里得的《原本》是歷史上第一個數(shù)學(xué)公理化體系，為數(shù)學(xué)發(fā)展奠定基礎(chǔ)，后續(xù)數(shù)學(xué)家基于對公理化方法的探索又誕生了非歐幾何等新的幾何體系，促進了數(shù)學(xué)的不斷進步.
