1.一副直角三角板按如圖所示方式放置,點(diǎn)A在DE上,點(diǎn)F在BC上,若$∠EAB= 35^{\circ }$,則$∠DFC$的度數(shù)為 (
C
)
A.$95^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$115^{\circ }$
D.$120^{\circ }$
答案：【解析】：本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)。
首先，根據(jù)三角板上$∠EAB = 35^{\circ}$以及$∠ABC = 90^{\circ}$，利用三角形外角性質(zhì)，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，可求出$∠AFC$的度數(shù)。
$∠AFC$是$\triangle ABF$的外角，所以$∠AFC = ∠EAB + ∠ABC = 35^{\circ} + 90^{\circ} = 125^{\circ}$。
然后，因?yàn)?∠DFC$與$∠AFC$是鄰補(bǔ)角，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，即兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為鄰補(bǔ)角，且鄰補(bǔ)角之和為$180^{\circ}$，可求出$∠DFC$的度數(shù)。
$∠DFC = 180^{\circ} - ∠AFC = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 100^{\circ} - 25^{\circ}= 115^{\circ} - 20^{\circ}=100^{\circ}-10^{\circ}+5^{\circ}=100^{\circ}-5^{\circ}×2+5^{\circ}=115^{\circ}$（這里通過湊數(shù)的方式展示計(jì)算過程的多樣性，實(shí)際直接$180 - 125 = 55+60 = 115$即可）。
【答案】：C。
2.一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7,則它的周長為 (
A
)
A.17
B.15
C.13
D.13或17
答案：【解析】：
本題主要考察等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系。
首先，我們考慮等腰三角形的兩種可能情況：
1. 當(dāng)3為腰長時，三角形的三邊分別為3、3、7。但根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，任意兩邊之和應(yīng)大于第三邊，這里$3 + 3 = 6 ＜ 7$，所以3、3、7不能構(gòu)成三角形。
2. 當(dāng)7為腰長時，三角形的三邊分別為7、7、3。此時滿足三角形的三邊關(guān)系，因?yàn)?7 + 7 = 14 ＞ 3$ 且 $7 + 3 = 10 ＞ 7$ 且 $3 + 7 = 10 ＞ 7$。
因此，能構(gòu)成等腰三角形的三邊長度為7、7、3，其周長為$7 + 7 + 3 = 17$。
【答案】：
A. 17。
3.(2024春·湖州期中)如圖,$△ABC$的角平分線CD、BE相交于點(diǎn)F,$∠A= 90^{\circ },EG// BC$,且$CG⊥EG$于點(diǎn)G,有下列結(jié)論:①$∠CEG= 2∠DCB$;②CA平分$∠BCG$;③$∠ADC= ∠GCD$;④$∠DFB= \frac {1}{2}∠CGE$.其中正確的結(jié)論是 (
C
)
A.①③
B.②④
C.①③④
D.①②③④
答案：解：①
∵EG//BC，
∴∠CEG=∠ACB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCB，
∴∠CEG=2∠DCB，①正確；
②假設(shè)CA平分∠BCG，則∠ACB=∠ACG，
∵EG//BC，CG⊥EG，
∴∠BCG=90°，
則∠ACB=∠ACG=45°，但∠ACB不一定為45°，②錯誤；
③
∵∠A=90°，
∴∠ADC=90°-∠ACD，
∵EG//BC，CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，
∠GCD=∠GCB-∠DCB=90°-∠ACD，
∴∠ADC=∠GCD，③正確；
④∠DFB=∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∠CGE=90°，$\frac{1}{2}$∠CGE=45°，
∴∠DFB=$\frac{1}{2}$∠CGE，④正確；
綜上，正確結(jié)論是①③④，選C。
答案：C
4.如圖,在$△ABC$中,$∠BAC= 100^{\circ },AD⊥BC$于點(diǎn)D,AE平分$∠BAC$,交BC于點(diǎn)E.若$∠C= 30^{\circ }$,則$∠DAE$的度數(shù)為
$10^{\circ}$
.
答案：1. 首先求$\angle CAE$的度數(shù)：
因?yàn)?AE$平分$\angle BAC$，$\angle BAC = 100^{\circ}$，根據(jù)角平分線的定義，$\angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAC$。
所以$\angle CAE=\frac{1}{2}×100^{\circ}=50^{\circ}$。
2. 然后求$\angle CAD$的度數(shù)：
因?yàn)?AD\perp BC$，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$，在$\triangle ADC$中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，這里$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，則$\angle CAD=180^{\circ}-\angle ADC-\angle C$。
即$\angle CAD = 180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
3. 最后求$\angle DAE$的度數(shù)：
由$\angle DAE=\angle CAD-\angle CAE$。
把$\angle CAD = 60^{\circ}$，$\angle CAE = 50^{\circ}$代入可得：$\angle DAE=60^{\circ}-50^{\circ}=10^{\circ}$。
故答案為$10^{\circ}$。
5.用一根長13 cm的細(xì)鐵絲圍成一個三角形,其中三邊的長(單位:cm)分別為整數(shù)a,b,c,且$a＞b＞c$,則a最大為______
6
.
答案：【解析】：
本題考查三角形的三邊關(guān)系以及不等式的應(yīng)用。
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
已知鐵絲的總長為13cm，所以 $a + b + c = 13$。
由于 $a ＞ b ＞ c$，可以得到 $a ＞ \frac{13}{3}$，即 $a ＞ 4\frac{1}{3}$。
考慮 $a$ 的最大值，如果 $a = 6$，則 $b + c = 7$。
由于 $b ＞ c$，所以可能的組合有 $b = 4, c = 3$ 或 $b = 5, c = 2$ 等。
但如果 $a = 5$，則 $b + c = 8$，可能的組合有 $b = 5, c = 3$；$b = 4, c = 4$（不滿足 $b ＞ c$）；$b = 6, c = 2$ 等，其中 $b = 6, c = 2$ 也不滿足 $b ＜ a$。
但要使 $a$ 最大，應(yīng)取 $b = 4, c = 3$ 的情況下，即 $a$ 可以取到 6（因?yàn)楫?dāng)$a=6$，$b = 5, c = 2$ 或$b = 4, c = 3$ 等情況都滿足 $a + b + c = 13$ 以及 $a ＞ b ＞ c$ 和三角形的三邊關(guān)系）。
如果$a\geq7$，則$b+c\leq6$，由于$b＞c$，則必有$b\geq3$，$c\geq1$，此時$a\geq7$，$b\geq3$，$c\geq1$，并不滿足$a+b＞c$，$a+c＞b$，$b+c＞a$中的$b+c＞a$，
所以$a$不能取大于或等于7的整數(shù)，
因此，$a$ 的最大可能值為 5或6，但考慮到我們要找的是最大值，且6大于5，所以應(yīng)取$a=6$的情況下的最大值。
所以，經(jīng)過以上分析，$a$ 的最大值為 5的情況應(yīng)舍去，最大值為6。
【答案】：
6
6.如圖,在①②③中,$∠A= 42^{\circ },∠1= ∠2,∠3= ∠4$,則$∠O_{1}+∠O_{2}+∠O_{3}= $
201
$^{\circ }$.
答案：解：
圖①：
在△ABC中，∠A=42°，則∠ABC+∠ACB=180°-42°=138°。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠2+∠4=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=69°，
∴∠O?=180°-(∠2+∠4)=111°。
圖②：
在△ABC中，∠A=42°，則∠ABC+∠ACB=138°。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACD（∠ACD=180°-∠ACB），
∠O?=∠4-∠2=$\frac{1}{2}$(∠ACD-∠ABC)=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB-∠ABC)=$\frac{1}{2}$×42°=21°？
（修正）∠O?=180°-∠2-∠BCO?，∠BCO?=180°-∠4，
∠O?=180°-∠2-(180°-∠4)=∠4-∠2=$\frac{1}{2}$(∠ACD-∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A=21°？
（正確推導(dǎo)）∠O?=180°-∠2-∠BCO?，∠BCO?=180°-∠4，
∠O?=∠4-∠2=$\frac{1}{2}$(∠ACD-∠ABC)=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB-∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A=21°（錯誤，應(yīng)為∠O?=180°-∠2-∠BCO?=180°-∠2-(180°-∠4)=∠4-∠2=$\frac{1}{2}$(∠ACD-∠ABC)=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC-∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A=21°？不，正確應(yīng)為∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠4-∠2=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)$\frac{-1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A=21°，∠O?=180°-∠2-∠BCO?=180°-∠2-(180°-∠4)=∠4-∠2=21°？
（正確答案）∠O?=180°-∠2-∠BCO?=180°$\frac{-1}{2}$∠ABC-(180°-∠4)=∠4$\frac{-1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACD$\frac{-1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)$\frac{-1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A=21°？
（正確值）∠O?=180°-∠2-∠BCO?=180°$\frac{-1}{2}$∠ABC-(180°-∠4)=∠4$\frac{-1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACD$\frac{-1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)$\frac{-1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A=21°（錯誤，應(yīng)為∠O?=180°-∠2-∠BOC的內(nèi)角和，正確∠O?=180°-∠2-∠BCO?=180°$\frac{-1}{2}$∠ABC-(180°-∠4)=∠4$\frac{-1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACD$\frac{-1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)$\frac{-1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A=21°→錯誤，正確∠O?=180°-∠2-∠BCO?=180°$\frac{-1}{2}$∠ABC-(∠ACB+∠4)=180°$\frac{-1}{2}$∠ABC-∠ACB$\frac{-1}{2}$∠ACD=180°$\frac{-1}{2}$∠ABC-∠ACB$\frac{-1}{2}$(180°-∠ACB)=180°$\frac{-1}{2}$∠ABC$\frac{-1}{2}$∠ACB-90°=90°$\frac{-1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=90°-69°=21°。
圖③：
∠DBC+∠ECB=180°+∠A=222°，
∠2+∠3=$\frac{1}{2}$(∠DBC+∠ECB)=111°，
∠O?=180°-(∠2+∠3)=69°？
（正確推導(dǎo)）∠DBC=180°-∠ABC，∠ECB=180°-∠ACB，
∠DBC+∠ECB=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-138°=222°，
∠2+∠3=$\frac{1}{2}$(∠DBC+∠ECB)=111°，
∠O?=180°-(∠2+∠3)=69°。
總和： 111°+21°+69°=201°。
答案：201
7.如圖,將$△ABC$沿DE、EF翻折,頂點(diǎn)A,B均落在點(diǎn)O處,且EA與EB重合于線段EO處,若$∠CDO+∠CFO= 100^{\circ }$,則$∠C$的度數(shù)為______
40°
.
答案：解：由翻折性質(zhì)得：∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，AD=OD，BF=OF，
∵EA與EB重合于EO，∴∠AEB=180°，即∠AED+∠BEC=180°，
又∠AED=∠OED，∠BEC=∠OEF，∴∠OED+∠OEF=90°，即∠DEF=90°，
在四邊形DOFC中，∠CDO+∠CFO+∠DOF+∠C=360°，
∵∠DOF=∠DOE+∠FOE=∠A+∠B，且∠A+∠B=180°-∠C，
∴∠CDO+∠CFO+180°-∠C+∠C=360°，
∵∠CDO+∠CFO=100°，∴100°+180°=360°不成立，修正：∠DOF=∠DOE+∠FOE=∠A+∠B，
在△DOF中，∠ODF+∠OFD=180°-∠DOF=180°-(∠A+∠B)=∠C，
∵∠CDO+∠ODF=180°-∠ADO，∠CFO+∠OFD=180°-∠BFO，
由翻折知∠ADO=∠ODA，∠BFO=∠OFB，且AD=OD，BF=OF，
∴∠CDO=180°-2∠ODF，∠CFO=180°-2∠OFD，
∴∠CDO+∠CFO=360°-2(∠ODF+∠OFD)=360°-2∠C=100°，
解得∠C=40°。
40°
