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8.(15分)如圖,在$△ABC$中,AD是角平分線,E為邊AB上一點,連接DE,$∠EAD= ∠EDA$,過點E作$EF⊥BC$,垂足為F.
(1)求證:$DE// AC$;
(2)若$∠DEF= 40^{\circ },∠B= 35^{\circ }$,求$∠BAC$的度數(shù).

答案：(1)證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠CAD=∠EDA，
∴DE//AC；
(2)解：∵EF⊥BC，
∴∠EFD=90°，
∵∠DEF=40°，
∴∠EDF=180°-∠EFD-∠DEF=180°-90°-40°=50°，
∵DE//AC，
∴∠C=∠EDF=50°，
∵∠B=35°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-50°=95°．

9.(15分)如圖,有一塊直角三角板XYZ放置在$△ABC$上,恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY,XZ分別經(jīng)過點B,C.在$△ABC$中,$∠A= 30^{\circ }$.
(1)$∠ABC+∠ACB= $

150

$^{\circ }$;
(2)求$∠ABX+∠ACX$的值.

$\angle ABX+\angle ACX=60^{\circ }$

答案：【解析】：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及直角三角形的性質(zhì)。
（1）已知在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle A=30^\circ$，根據(jù)三角形內(nèi)角和為$180^\circ$，我們可以得到$\angle ABC+\angle ACB=180^\circ-\angle A=180^\circ-30^\circ=150^\circ$。
（2）在$\bigtriangleup XBC$中，由于$\angle BXC=90^\circ$，根據(jù)三角形內(nèi)角和為$180^\circ$，我們可以得到$\angle XBC+\angle XCB=180^\circ-\angle BXC=180^\circ-90^\circ=90^\circ$。
然后，我們可以計算$\angle ABX+\angle ACX$的值。
由于$\angle ABC=\angle ABX+\angle XBC$，$\angle ACB=\angle ACX+\angle XCB$，
所以$\angle ABC+\angle ACB=(\angle ABX+\angle XBC)+(\angle ACX+\angle XCB)=(\angle ABX+\angle ACX)+(\angle XBC+\angle XCB)$，
即$\angle ABX+\angle ACX=(\angle ABC+\angle ACB)-(\angle XBC+\angle XCB)=150^\circ-90^\circ=60^\circ$。
【答案】：（1）$150^\circ$；（2）$60^\circ$。

10.(20分)(2024·鎮(zhèn)江丹陽期末)$△ABC$中,BD是角平分線,E是AB邊上的一動點.
【初步探索】如圖①,當點E與點A重合時,$∠BED$的平分線交BD于點O.
(1)若$∠BAC= 50^{\circ },∠ABC= 60^{\circ }$,則$∠EOD=$

$^{\circ }$;
(2)若$∠C= m^{\circ }$,則$∠EOD=$

$90-\frac{m}{2}$

$^{\circ }$.(用含m的代數(shù)式表示)

答案：【解析】：本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)。
（1）已知$\angle BAC = 50^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，
根據(jù)三角形內(nèi)角和為$180^{\circ}$，
可得：$\angle C=180^{\circ}-\angle BAC - \angle ABC = 180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$。
因為$BD$是$\angle ABC$的角平分線，
所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$。
當點$E$與點$A$重合時，$\angle BED$即為$\angle BAC = 50^{\circ}$，
$EO$平分$\angle BED$，
則$\angle BEO=\frac{1}{2}\angle BED=\frac{1}{2}×50^{\circ}=25^{\circ}$。
在$\triangle BOE$中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為$180^{\circ}$，
可得：$\angle EOD=\angle OBE + \angle BEO=30^{\circ}+25^{\circ}=55^{\circ}$。
故應填：55。
（2）已知$\angle C = m^{\circ}$，
根據(jù)三角形內(nèi)角和為$180^{\circ}$，
可得：$\angle BAC+\angle ABC=180^{\circ}-\angle C=(180 - m)^{\circ}$。
因為$BD$是$\angle ABC$的角平分線，
所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC$。
當點$E$與點$A$重合時，$\angle BED=\angle BAC$，
$EO$平分$\angle BED$，
則$\angle BEO=\frac{1}{2}\angle BED=\frac{1}{2}\angle BAC$。
在$\triangle BOE$中，$\angle EOD=\angle OBE + \angle BEO$
$=\frac{1}{2}\angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$
$=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BAC)$
$=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)$
$=\frac{1}{2}(180 - m)^{\circ}$
$= (90-\frac{m}{2})^{\circ}$
故應填：$(90-\frac{m}{2})$。
【答案】：(1)$55$；(2)$(90-\frac{m}{2})$。

【變式拓展】當點E與點A不重合時,連接ED,設$∠ADE= α,∠ACB= β$.
(1)如圖②,$∠BED$的平分線交BD于點O.
①當$α=50^{\circ },β=80^{\circ }$時,$∠EOD=$

$^{\circ }$;
②用含α,β的代數(shù)式表示$∠EOD=$

$90^{\circ }-\frac {1}{2}\beta +\frac {1}{2}\alpha $

.
(2)如圖③,$∠ACB$的平分線與BD相交于點O,與$∠AED$的平分線所在的直線相交于點F(點F與點E不重合),求$∠F與∠COD$之間的數(shù)量關(guān)系.(用含α,β的代數(shù)式表示)
解:設 CF 交 DE 于點 G.
∵BO,CO 分別平分$∠ABC,∠ACB,$
$\therefore ∠OBC=\frac {1}{2}∠ABC,∠OCB=\frac {1}{2}∠ACB.$
$\because ∠COD=∠OBC+∠OCB$
$=\frac {1}{2}∠ABC+\frac {1}{2}∠ACB$
$=\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)$
$=\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠A)$
$=90^{\circ }-\frac {1}{2}∠A,$
$\therefore ∠A=180^{\circ }-2∠COD.$
∵EF 平分$∠AED,\therefore ∠FEG=\frac {1}{2}∠AED.$
$\because ∠F=180^{\circ }-∠FEG-∠FGE,∠FGE=∠DGC,$
$∠DGC=∠ADE-∠ACG=∠ADE-\frac {1}{2}∠ACB,$
$\therefore ∠F=180^{\circ }-\frac {1}{2}∠AED-∠ADE+\frac {1}{2}∠ACB$
$=180^{\circ }-\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠A-∠ADE)-∠ADE+\frac {1}{2}∠ACB$
$=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠A-\frac {1}{2}∠ADE+\frac {1}{2}∠ACB$
$=90^{\circ }+\frac {1}{2}(180^{\circ }-2∠COD)-\frac {1}{2}\alpha +\frac {1}{2}\beta $
$=180^{\circ }-∠COD-\frac {1}{2}\alpha +\frac {1}{2}\beta .$

答案：
(1)①75 ②$90^{\circ }-\frac {1}{2}\beta +\frac {1}{2}\alpha $
(2)解:設 CF 交 DE 于點 G.
∵BO,CO 分別平分$∠ABC,∠ACB,$
$\therefore ∠OBC=\frac {1}{2}∠ABC,∠OCB=\frac {1}{2}∠ACB.$
$\because ∠COD=∠OBC+∠OCB$
$=\frac {1}{2}∠ABC+\frac {1}{2}∠ACB$
$=\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)$
$=\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠A)$
$=90^{\circ }-\frac {1}{2}∠A,$
$\therefore ∠A=180^{\circ }-2∠COD.$
∵EF 平分$∠AED,\therefore ∠FEG=\frac {1}{2}∠AED.$
$\because ∠F=180^{\circ }-∠FEG-∠FGE,∠FGE=∠DGC,$
$∠DGC=∠ADE-∠ACG=∠ADE-\frac {1}{2}∠ACB,$
$\therefore ∠F=180^{\circ }-\frac {1}{2}∠AED-∠ADE+\frac {1}{2}∠ACB$
$=180^{\circ }-\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠A-∠ADE)-∠ADE+\frac {1}{2}∠ACB$
$=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠A-\frac {1}{2}∠ADE+\frac {1}{2}∠ACB$ $=90^{\circ }+\frac {1}{2}(180^{\circ }-2∠COD)-\frac {1}{2}\alpha +\frac {1}{2}\beta $ $=180^{\circ }-∠COD-\frac {1}{2}\alpha +\frac {1}{2}\beta .$

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