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4. (2024春·儀征期末)如圖是可調(diào)躺椅示意圖(數(shù)據(jù)如圖),$AE與BD的交點為C$,且$\angle CAB$、$\angle CBA$、$\angle D$的大小保持不變. 為了舒適,需調(diào)整$\angle E$的大小,使$\angle EFD= 110^{\circ}$,則圖中$\angle E$應 (

)

A.增加$10^{\circ}$
B.減少$10^{\circ}$
C.增加$20^{\circ}$
D.減少$20^{\circ}$

答案：B

解析：

在$\triangle ABC$中，$\angle CAB=50^\circ$，$\angle CBA=60^\circ$，則$\angle ACB=180^\circ - 50^\circ - 60^\circ=70^\circ$。
$\angle DCE=\angle ACB=70^\circ$（對頂角相等）。
在$\triangle CDE$中，$\angle D=20^\circ$，則$\angle E=180^\circ - \angle DCE - \angle D=180^\circ - 70^\circ - 20^\circ=90^\circ$。
$\angle EFD$是$\triangle DFC$的外角，$\angle D=20^\circ$，$\angle DCF=180^\circ - \angle ACB=110^\circ$，所以$\angle EFD=\angle D + \angle DCF=20^\circ + 110^\circ=130^\circ$。
要使$\angle EFD=110^\circ$，需$\angle EFD$減少$130^\circ - 110^\circ=20^\circ$，則$\angle E$應減少$10^\circ$。
B

5. (1)如圖①,$\angle BAD的平分線AE與\angle BCD的平分線CE交于點E$,$AB// CD$,$\angle D= 40^{\circ}$,$\angle B= 30^{\circ}$,求$\angle E$的大小.
(2)如圖②,$\angle BAD的平分線AE與\angle BCD的平分線CE交于點E$,$\angle D= m^{\circ}$,$\angle B= n^{\circ}$,求$\angle E$的大小.
(3)如圖③,$\angle BAD的平分線AE與\angle BCD的平分線CE交于點E$,則$\angle E與\angle D$、$\angle B$之間是否仍存在某種等量關(guān)系？若存在,請寫出你的結(jié)論,并給出證明；若不存在,請說明理由.

答案：
5.解:
(1)
∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD,
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD,∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E +∠ECB,
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB,
∴∠D+∠B=2∠E,
∴∠E=$\frac{1}{2}$(∠D+∠B).
∵∠D=40°,∠B=30°,
∴∠E=$\frac{1}{2}$×(40°+30°)=35°.
(2)由
(1)同理易得,∠E=$\frac{1}{2}$(∠D+∠B),
∵∠D=m°,∠B=n°,
∴∠E=$\frac{m°+n°}{2}$.
(3)存在.∠E=$\frac{∠B-∠D}{2}$.
　證明如下:延長BC交AD于點F,如答圖,
∵∠BFD=∠B+∠BAD,
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D.
∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD,
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD,∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠EAB-$\frac{1}{2}$∠BCD=∠B+∠EAB-$\frac{1}{2}$(∠B+∠BAD+∠D)=$\frac{1}{2}$(∠B-∠D),即∠E=$\frac{∠B-∠D}{2}$.
　　　　　　

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