1. 將多項(xiàng)式 $3x^{2}-6x + 3$ 分解因式,下列結(jié)果正確的是(
D
)
A.$3(x^{2}-2x)$
B.$3x(x - 2)$
C.$3(x^{2}-2x + 1)$
D.$3(x - 1)^{2}$
答案：D
解析：
$3x^{2}-6x + 3=3(x^{2}-2x + 1)=3(x - 1)^{2}$，故選D。
2. 下列各式中不是多項(xiàng)式 $a^{2}b - 4b$ 的因式的是(
D
)
A.$b$
B.$a + 2$
C.$a - 2$
D.$a - 4$
答案：D
解析：
$a^{2}b - 4b = b(a^{2} - 4) = b(a + 2)(a - 2)$，因式有$b$、$a + 2$、$a - 2$，不是因式的是$a - 4$。
D
3. 已知 $xy = -\frac{1}{2},x + y = 5$,則 $2x^{3}y + 4x^{2}y^{2}+2xy^{3}= $
-25
。
答案：-25
解析：
$2x^{3}y + 4x^{2}y^{2}+2xy^{3}$
$=2xy(x^{2}+2xy+y^{2})$
$=2xy(x+y)^{2}$
當(dāng)$xy = -\frac{1}{2}$，$x + y = 5$時，
原式$=2×(-\frac{1}{2})×5^{2}$
$=-1×25$
$=-25$
$-25$
4. 把下列各式因式分解：
(1) $-3ax^{2}+18axy - 27ay^{2}$；
(2) $3x(x - 4)+12$；
(3) $-2a^{3}+12a^{2}-18a$；
(4) $ax^{2}-16ay^{2}$。
答案：
(1)原式=-3a(x2-6xy+9y2)=-3a(x-3y)2.
(2)原式=3x2-12x+12=3(x2-4x+4)=3(x-2)2.
(3)原式=-2a(a2-6a+9)=-2a(a-3)2.
(4)原式=a(x2-16y2)=a(x+4y)(x-4y).
5. 已知 $x - y = -4$,則多項(xiàng)式 $\frac{1}{2}x^{2}-xy+\frac{1}{2}y^{2}$ 的值為(
C
)
A.4
B.6
C.8
D.10
答案：C
解析：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}x^{2}-xy+\frac{1}{2}y^{2}&=\frac{1}{2}(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=\frac{1}{2}(x - y)^{2}\\\because x - y = -4\\\therefore 原式&=\frac{1}{2}×(-4)^{2}\\&=\frac{1}{2}×16\\&=8\end{aligned}$
C
6. (2024 秋·永春縣月考)某課外密碼研究小組接收到一條密文：$8x(m^{2}-n^{2})-8y(m^{2}-n^{2})$。已知密碼手冊的部分信息如表所示：
|密文|…| $m - n$ | $m + n$ | $x - y$ | $x + y$ | 8 | $x$ |…|
|明文|…|我|愛|中|華|大|地|…|
把密文 $8x(m^{2}-n^{2})-8y(m^{2}-n^{2})$ 用因式分解解碼后,明文可能是(
D
)
A.中華大地
B.愛我中華
C.愛大中華
D.我愛中大
答案：D
解析：
$8x(m^{2}-n^{2})-8y(m^{2}-n^{2})$
$=8(m^{2}-n^{2})(x - y)$
$=8(m - n)(m + n)(x - y)$
由密碼手冊知，$8$對應(yīng)“大”，$m - n$對應(yīng)“我”，$m + n$對應(yīng)“愛”，$x - y$對應(yīng)“中”，故明文為“我愛中大”。
D
7. 多項(xiàng)式 $4(x^{2}+1)+(x + 1)^{2}(x - 3)+(x - 1)^{3}$ 等于下列哪個選項(xiàng)(
B
)
A.$2x(x - 1)^{2}$
B.$2x(x + 1)(x - 1)$
C.$x(x + 1)(x - 1)$
D.$2(x - 1)^{2}(x + 1)$
答案：B
解析：
$4(x^{2}+1)+(x + 1)^{2}(x - 3)+(x - 1)^{3}$
$=4x^{2}+4+(x^{2}+2x + 1)(x - 3)+(x^{3}-3x^{2}+3x - 1)$
$=4x^{2}+4+x^{3}-3x^{2}+2x^{2}-6x + x - 3+x^{3}-3x^{2}+3x - 1$
$=(x^{3}+x^{3})+( - 3x^{2}+2x^{2}-3x^{2}+4x^{2})+( - 6x + x + 3x)+(4 - 3 - 1)$
$=2x^{3}-0x^{2}-2x+0$
$=2x^{3}-2x$
$=2x(x^{2}-1)$
$=2x(x + 1)(x - 1)$
B
8. (2024 秋·越秀區(qū)期中)若 $a + b = 3,ab = 2,x + y = -2$,則 $a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}-x - y + 2024$ 的值為
2044
。
答案：2044
解析：
$a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}-x - y + 2024$
$=ab(a^{2} + 2ab + b^{2})-(x + y)+2024$
$=ab(a + b)^{2}-(x + y)+2024$
當(dāng)$a + b = 3$，$ab = 2$，$x + y=-2$時，
原式$=2×3^{2}-(-2)+2024$
$=2×9 + 2 + 2024$
$=18 + 2 + 2024$
$=2044$
2044
9. 如圖①,在一個棱長為 $a$ 的正方體中挖去一個棱長為 $b$ 的小正方體$(a ＞ b)$,將剩余部分進(jìn)行切割得到如圖②所示的三個長方體。通過計算剩余部分的體積,可對多項(xiàng)式 $a^{3}-b^{3}$ 進(jìn)行因式分解,即 $a^{3}-b^{3}=$
$(a-b)(a2+ab+b2)$
。
答案：(a-b)(a2+ab+b2)
解析：
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
