1. 如果兩個(gè)方程的解相差1,那么稱解較大的方程為另一個(gè)方程的“后移方程”。例如,方程$x - 2 = 0是方程x - 1 = 0$的“后移方程”。
(1) 方程$2x + 1 = 0$__
是
__(填“是”或“不是”)方程$2x + 3 = 0$的“后移方程”；
(2) 若關(guān)于$x的方程3x + m + n = 0是關(guān)于x的方程3x + m = 0$的“后移方程”,求$n$的值；
解:方程3x+m+n=0的解為$x=-\frac{m+n}{3},$方程3x+m=0的解為$x=-\frac{m}{3}.$根據(jù)題意,得$-\frac{m+n}{3}-(-\frac{m}{3})=1,$解得n=-3.
(3) 當(dāng)$a ≠ 0$時(shí),如果方程$ax + b = 0是方程ax + c = 0$的“后移方程”,用等式表示$a$,$b$,$c$滿足的數(shù)量關(guān)系：__
a+b-c=0
__。
答案：1.(1)是 點(diǎn)撥:方程2x+1=0的解是$x=-\frac{1}{2},$方程2x+3=0的解是$x=-\frac{3}{2}.$因?yàn)?(-\frac{1}{2})-(-\frac{3}{2})=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1,$所以方程2x+1=0是方程2x+3=0的"后移方程".
(2)解:方程3x+m+n=0的解為$x=-\frac{m+n}{3},$方程3x+m=0的解為$x=-\frac{m}{3}.$根據(jù)題意,得$-\frac{m+n}{3}-(-\frac{m}{3})=1,$解得n=-3.
(3)a+b-c=0 點(diǎn)撥:方程ax+b=0的解為$x=-\frac{a},$方程ax+c=0的解為$x=-\frac{c}{a}.$根據(jù)題意,得$-\frac{a}-(-\frac{c}{a})=1,$即$\frac{c-b}{a}=1,$整理得a+b-c=0.
2. 如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1,我們就稱這兩個(gè)方程互為“美好方程”。例如,方程$4x = 8和方程x + 1 = 0$互為“美好方程”。
(1) 請(qǐng)判斷方程$4x - (x + 5) = 1與方程-2y - y = 3$是否互為“美好方程”；
(2) 若關(guān)于$x的方程3x + m = 0與方程4x - 2 = x + 10$互為“美好方程”,求$m$的值；
(3) 若關(guān)于$x的方程\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + k和\frac{1}{2025}x + 1 = 0$互為“美好方程”,求關(guān)于$y的方程\frac{1}{2025}(y + 1) + 3 = 2y + k + 2$的解。
答案：2.(1)方程4x-(x+5)=1與方程-2y-y=3互為"美好方程".理由如下:解方程4x-(x+5)=1得x=2,解方程-2y-y=3得y=-1.因?yàn)閤+y=2-1=1,所以方程4x-(x+5)=1與方程-2y-y=3互為"美好方程".
(2)關(guān)于x的方程3x+m=0的解為$x=-\frac{m}{3},$方程4x-2=x+10的解為x=4.因?yàn)殛P(guān)于x的方程3x+m=0與方程4x-2=x+10互為"美好方程",所以$-\frac{m}{3}+4=1,$解得m=9.
(3)方程$\frac{1}{2025}x+1=0$的解為x=-2025.因?yàn)殛P(guān)于x的方程$\frac{1}{2025}x+1=0$與$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$互為"美好方程",所以關(guān)于x的方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$的解為x=2026.因?yàn)殛P(guān)于y的方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$就是$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k,$所以y+1=x=2026,解得y=2025.所以關(guān)于y的方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$的解為y=2025.
